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几何学中最古老的问题之一就是什么图形可以无尽的覆盖平坦区域。
数学家只考虑凸多边形的平铺时，这仍然是一个艰巨的任务，尝试放置规则的五边形（角和边相等的五边形），边到边，并很快形成缝隙。他们不能平铺。
古希腊人证明，平铺的唯一规则多边形是三角形，四边形和六边形（现在在许多浴室地板上都可以看到）
但是，将五边形挤压并拉伸成不规则的形状，并可以铺砌瓷砖。在一篇1918年的博士论文中，德国数学家卡尔·莱因哈特确定了五个类型的不规则凸五边形的瓷砖面。
他的证明中首先表明，只有有限数量的方案可以检查凸五边形的角如何组合在一起，他使用简单的几何守恒定律来限制标记1到5的五边形的角如何在平铺的顶点相交。这些条件包括以下事实：1至5个角的总和必须等于540度（任何五边形的总和），并且所有五个角必须平等地参与平铺，因为它们都是每个五角形瓷砖的一部分。此外，如果相邻五边形的角都在此相交，则给定顶点处的角度之和必须始终等于360度；如果某些角沿另一个五角形的边相交，则总角必须等于180度。
考虑七个边的七边形，为简单起见，仅考虑顶点到顶点的平铺（在边缘中间有顶点只会使问题复杂化）。七边形的内角之和为900度，因此平均角度为900/7度。平铺中的每个顶点都有360度可以在相交的角之间划分，因此，平均而言，每个顶点周围可以容纳360 /（900/7）= 2.8个七边形。但是，由于每个顶点至少必须有三个七边形相遇（否则这是一个边缘），所以平均2.8是不可能的。随着凸多边形的边数增加，该问题恶化
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