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题目
在△ABC外侧做两个等腰直角三角形△EAB和△FAC. O是边BC的中点，连接OE、OF，猜想并证明OE、OF之间的关系。
如果大家有什么更好的方法，欢迎在评论区分享。
解析
线段间常见关系无非两种。
第一种：位置关系。比如垂直、平行等；
第二种：数量关系。比如长度相等、倍数关系等。
由题目作图不难猜想：线段OE与OF垂直且相等。
此题的关键在于证明。
初中几何中，常见证明数量关系的方法有全等、相似等。既然这里猜想两线段相等，不妨用全等三角形知识来证明。
而位置关系，题目已知了45°、90°两种特殊角，我们可以通过转换来求证∠EOF的度数。
思路
根据三角形全等的判定条件来看，我们需要知道几组对应的边、角等量关系。但上图中，一眼看去，似乎没有任何已知的可利用的等量关系，很明显需要添加辅助线。
那辅助线怎么添加？
再次回顾题目，易知在任意△ABC中，有一个特殊点：O为BC的中点。因此，我们可以据此联想到“中位线”知识，到这一步，后面的就可以顺水推舟了。
证明
取边AB中点G、AC中点H. 连接EG、OG、FH、OH.
在△ABC中，O、G为边BC、AB中点
∴ OG平行且等于1/2AC ①
在Rt△FAC中，FH为斜边中线，
∴ FH等于1/2AC ②
求得，OG=FH
同理可求，EG=OH
∵ OG//AC
∴ ∠BGO=∠BAO
∵ OH//AB
∴ ∠OHC=∠BAC
∴ ∠BGO=∠CHO
∵∠EGB=∠FHC
∴ ∠BGO+∠EGB=∠CHO+∠FHC
即∠EGO=∠FHO
在ΔEGO与ΔOHF中
OG=HF
∠EGO=∠FHO
EG=OH
∴ΔEGO≌ΔOHF
∴EO=FO；∠GEO=∠HOF
在ΔEGO中，
∵ ∠GEO+∠BGO+∠GOE=90°
∴ ∠HOF+∠BGO+∠GOE=90°，即∠EOF=90°
证明完毕。
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