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本文作者，Kevin Hartnett，《量子》杂志资深作者。
翻译作者，Humphrey，哆嗒数学网翻译组成员。
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“和-积”问题的最新进展引起了一个著名的数学结论，它揭示了有限数系的威力。
在一片空旷的地方做侧空翻是一回事，但在一个类似浴缸狭窄的地方做却是另一回事。同样，从某一个角度来说，这正体现了过去二十年多年数论中最重要的结果之一的精神。
我写过关于“和-积”问题的东西。它要求取任意数集，然后把它们排列在一个表格中，使得每个交叉格中的数字等于对应格中数的和或者积。
“和-积”问题猜不同的和或者积的个数的数量级大致是N（N表示构造网格所使用数字的个数）
“和-积”问题可以使用任何实数集生成网格，你也可以将此问题限制为特定的比实数更小的数字系统。这些自我包含的数字系统被称为“有限域”。
在数学中，“域”是指你能在其中进行加减乘除四则运算的任何数字系统。全体实数形成了一个域。你对任何两个实数进行四则运算得到的结果是一个实数。或者，换一种方式说，实数的算术运算不会产生非实数。
整数不能形成一个域。确实，你对任意两个实数进行加减乘能得到第三个实数，但是3除以2你将得到3/2，而3/2不是一个整数。
“有限”域是一个由有限个数字组成的数字系统。有不同类型的有限域，但最简单的有限域被称为“模”算术或者“钟表”算术。在模算术种，当你到达最后一个数字时候，你又回到了开始，就像沿着一个钟表面数数一样。例如，如果你下午七点去参加一个聚会，六个小时后回来，那么你将在上午1点回来。用专业语言说就是，7+6=1（mod12）
实际上，钟表上的12个数字并不形成一个域，这是数论中最为关键性的一个结论：模数字系统能形成一个域只有当元素个数为素数。如果模数字系统元素个数不是素数，例如钟表12个数字，那么你将遇到两个非零数乘积为零的奇怪的情形。例如, 6 × 4 = 24，在基底为12的模数系中24即为0。这也将导致除法运算也会被破坏。但是如果模数字系统元素个数是一个素数，那么两个非零数乘积就永远不会是零。
在数学中，有限域已经得到很多重要的结果。作为自成体系的算术世界，它们包含着丰富的结构，这使得数学家能够利用它们去解决任何相关的问题，从质数到多项式方程解的模式。
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有限域上的方程
作者：（美）W. M. 施密特
当当
2003年，布尔冈(Bourgain),卡茨(Katz)和陶哲轩成为一批在有限域上的“和-积”问题取得进展的数学家。他们证明加法表和乘法表中使用的不同数字的总和只比生成表格使用的数字的个数在数量级上略略大一点点。这个结果在数量级判定上的估计但是意义却很重大。
布尔冈, 卡茨和 陶哲轩证明了加法和乘法之间一个里程碑式的联系。
卡茨说：“这是我们能得到的一个很小的结果，但是它确实原创结果”，卡茨目前在加州理工学院工作。
这篇论文的作者们是一个强大的队伍：卡茨是一个业内饱受盛赞的数论专家，布尔冈和陶哲轩被列为同时代顶级数学家。布尔冈在64岁时死于癌症，他是为这个证明提供了大量支持。几年前，他解决了一个不同种类的“和-积”问题。当他转向“和-积”问题有限域版本时，他对获得证明有着非常清晰的思路，但是他请来卡茨和陶哲轩来帮助解释他试图使用的方法的所有细节。
卡茨说：“基本上可以说，布尔冈知道如何做，他请我们帮忙因为他想写一些关于他的方法的应用。”
自从2003年以来，其他数学家在他们三人的基础上改进了关于不同数字和或者积个数的结果，得到了甚至比他们三人得到的更大的数字。数学家也把他们证明的技术应用到数学其他方面，包括研究膨胀图形和多项式与素数相关的问题。
对于“和-积”问题，有限域（你能握在手上）比起实数域也许更合适。但事实上，在有限域情形下，这个问题更深刻，也给其他数学家更多的暗示。
原因是因为有限域上的“和-积”现象成立比起实数域上更加困难。问题的原来形成机制推断，任何数字集合将产生比该集合元素个数更多的和与积。当考虑实数集合时，由于它有无限多，也许这一推断不是一个惊讶的结论。但是这对有限域成立，因为有限域很少有空间移动？这就像在浴缸成功完成侧空翻。
卡茨说：“实数是无限集，有无限多的空间可以生长。但是在一个有限域，只有有限的空间成长，所以从生长的可能性意义来讲，它其实是一种更强的结论”
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