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证明抛物线上的线段长不变、求线段长的最值是数学中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题方法，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。
例题
如图，已知直线y=-3/4x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，设以C为顶点的抛物线y=(x+m)^2+n与直线AB的另一个交点为D，抛物线的对称轴与x轴交于点P，
（1）求CD的长；
（2）设△COD的OC边上的高为h，当h的值最大时，求点C的坐标。
解题过程：
1、求CD的长
过点D作DF⊥x轴于点D，过点C作CE⊥DF于点E
根据题目中的条件：直线y=-3/4x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)；
根据结论：A(4,0)，B(0,3)，则OA=4，OB=3；
根据题目中的条件：CE⊥DF，则∠CED=90°；
根据题目中的条件：DF⊥x轴，OB⊥x轴，则DF∥OB；
根据平行线的性质和结论：DF∥OB，则∠CDE=∠ABO；
根据相似三角形的判定和结论：∠CDE=∠ABO，∠CED=∠AOB=90°，则△CDE∽△ABO；
根据相似三角形的性质和结论：△CDE∽△ABO，则CE/DE=OA/OB；
根据结论：OA=4，OB=3，CE/DE=OA/OB，则CE/DE=4/3；
设点C的坐标为(c,-3/4c+3)，CE=4m
根据题目中的条件和结论：点C为抛物线y=(x+m)^2+n的顶点，C(c,-3/4c+3)，则抛物线的解析式为y=(x-c)^2-3/4c+3；
根据结论：CE=4m，CE/DE=4/3，则DE=3m；
根据勾股定理和结论：CE⊥DF，CE=4m，DE=3m，则CD=5m；
根据结论：C(c,-3/4c+3)，CE=4m，DE=3m，则点D的坐标为(c-4m,-3/4c+3+3m)；
根据题目中的条件和结论：点D(c-4m,-3/4c+3+3m)在抛物线y=(x-c)^2-3/4c+3上，则m=3/16；
所以，CD的长为3/16。
2、当h的值最大时，求点C的坐标
当CD⊥OC时，△COD的OC边上的高h取得最大值
根据勾股定理和结论：∠AOB=90°，OA=4，OB=3，则AB=5；
根据三角形面积公式和结论：S△AOB=OA*OB/2=AB*OC/2，OA=4，OB=3，AB=5，则OC=12/5；
根据结论：CD⊥OC，∠AOB=90°，则∠AOC+∠OAB=90°，∠ABO+∠OAB=90°，即∠AOC=∠ABO；
根据相似三角形的判定和结论：∠AOC=∠ABO，∠CPO=∠AOB=90°，则△CPO∽△AOB；
根据相似三角形的性质和结论：△CPO∽△AOB，则CP/OC=AO/AB，OP/OC=OB/AB；
根据结论：OA=4，OB=3，AB=5，OC=12/5，CP/OC=AO/AB，OP/OC=OB/AB，则CP=48/25，OP=36/25；
根据结论：CP=48/25，OP=36/25，则点C的坐标为(36/25,48/25)。
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解决本题的关键是根据相似三角形的性质得到线段间的数量关系，利用线段长度与坐标之间的关系就可以求得题目需要的值。
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