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初三《矩形》题型全解读3：两个形影不离的好兄弟 矩形与折叠问题初三《矩形》题型全解读3：两个形影不离的好兄弟 矩形与折叠问题
米粉老师说数学
06 1712:01欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，折叠问题是初中几何中一类很典型的题型，从初一到初三，我们处处能见，但几乎所有的折叠问题，都离不开一个背景图形 矩形，今天我们就来说一说，如何结合矩形的性质或判定来思考折叠问题。
知识梳理
1.折叠问题总体解题方法：折叠性质+方程思想+勾股定理；
2.折叠问题的三种题型
①折叠后点的位置确定：不涉及分类讨论，只是几何证明与计算；（例1）
②折叠后点的位置不确定：涉及分类讨论；（例2）
③折叠后的特殊图形的边或角位置不确定，涉及分类讨论；（例3）
3.折叠问题中常见的数学典型模型 “角平分线+平行线=等腰△”；（例4、例5）
由折叠性质“折叠前后的角相等”则知：折痕是角平分线，矩形对边会平行，所以在矩形中的折叠问题，常常出现这个数学典型模型的运用。如图：
4.折叠问题常见的添辅助线方法：连接对应点，则折痕垂直平分对应点的边线；（例5）
典型例题
例1.如图， 矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 .
思路分析
由折叠性质易证ODP≌△OEG，则在直角三角形BCG中，运用方程思想及勾股定理，即可求出AP的长；
解题过程
例2.如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F恰好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为 .
思路分析由于D点折叠后的对应点F，题目只交待在直线MN上，并没告之具体位置，有可能在线段MN上，也可能在N的上方或在M点的上方，故需要分情况讨论，画图便知点F不可能在M点的上方，所以分两种情况进行论证计算；
解题过程分两种情况：
①如图1，当点F在矩形内部时，由题易知：AD=AF=5,AN=4,FN=3,FM=2,设在Rt△EFM中，解得；
②如图2，当F在矩形外部时，由题易知：AD=AF=5,AN=4,FN=3,FM=8,设在Rt△EFM中，解得；
综上所述，DE的长为 或10.
例3.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=AC=2,将△ABC折叠，使点B落在边AC上点D不与点A重合处，折痕为PQ,当重叠部分△PQD为等腰三角形时，则AD的长为
思路分析折叠时由于Q、D点的位置不确定性，所以△PQD各边长度的不确定性，故当△PQD为等腰三角形时，需分三种情况进行分类讨论；
解题过程
例4.现有一张矩形纸片 ABCD（如图），其中 AB=4cm，BC=6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点E′，连接E′C，则线段 E′C= ．
思路分析由于A、B、E的位置是确定的，故点E`的位置也是确定的，所以不存在分类讨论，只需要运用几何知识进行证明与计算得出B`C的长即可。折叠过程中，出现数学典型模型“角平分线+等腰△=平行线”，AE是角平分线、△EE`C是等腰三角形，所以易得CE`//AE，依等腰三角形的“三线合一”及“平行线的距离处处相等”可用辅助线EM⊥E`C，E`N⊥AE，利用数学典型模型“双垂直模型”的面积用法，可求出E`N的长，即EM的长，由勾股定理E`C长。
解题过程
由折叠性质可得：∠AEB=∠AEE`，∵BE=EC=EE`，∴∠EE`C=∠ECE`，由外角性质可得∠BEE`=∠EE`C+∠ECE`，∴∠AEB=∠ECE`，∴AE//CE`，作EM⊥E`C，E`N⊥AE，∴E`N=EM，∵AB=4，BE=3，∴AE=5，在Rt△AEE`中，由AE`×EE`=AE×NE`可得NE`=12/5，∴EM=12/5，在Rt△MEE`中，∵EE`=3，EM=12/5，由勾股定理可得E`M=9/5，∴E`C=2E`M=18/5.
例5.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB`与AD的交点C`处，则BC：AB的值为
思路分析
连接CC`，由EC=EC`，BC//AD，依“等腰+平行线=角平分线”可得∠DC`C=∠B`C`C，则易证△C`DC≌△C`B`C，则CD=CB`=AB，∵AB=AB`，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，∴BC：AB=√3
解题过程
连接CC`，∵CE=C`E，∴∠ECC`=∠EC`C，∵AD//BC，∴∠ECC`=∠CC`D，∴∠CC`B`=∠CC`D，∵∠D=∠C`B`C=90°，CC`=CC`，∴△C`DC≌△C`B`C，∴CD=CB`，∵CD=AB=AB`，∴AB=AB`=CB`，即AC=2AB，∴∠ACB=30°，∴BC：AB=√3.
例6.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
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