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【勾股定理】（毕达哥拉斯定理）
左图中的直角三角形ABC，
a 2 +b 2 =c 2
成立。即，斜边以外的2边的平方和=斜边的平方是成立的。
毕达哥拉斯出身于希腊的萨摩斯岛。有一天，他漫步在萨摩斯岛的赫拉神庙，他的脚下铺满了下面这种纹理的地砖：
地砖的纹理其实很简单。毕达哥拉斯发现，一边为a的正方形面积（a 2 ），其4倍的一半（也就是2倍），正好等于灰色部分的正方形面积（见下图）。
即，
这就是等腰直角三角形的勾股定理！
毕达哥拉斯果然名不虚传。
如果地砖上的三角形是一般的直角三角形，可以用下图表示：
请大家参照这张图，试着证明一下普通直角三角形的勾股定理吧。
注意，考虑面积是关键
勾股定理的证明方法并非只有一个，据说有100多种。我挑2个给大家简单介绍一下吧：一个是欧几里得法，另一个是爱因斯坦法。
通过这些证明，我希望大家能明白，通往真理的道路并非只有一条，希望大家能亲身感受到逻辑的“强大”力量，即使选择的道路或方法不同，只要你的思路合乎逻辑，最终一定能发现真理。
证明1（欧几里得法）
首先，以直角三角形ABC的3条边为边，画出3个正方形。接下来，画直线CG，使BD∥CG。这些只是准备，证明过程尚未开始。
∠ABE=∠ABC+90°
∠DBC=∠ABC+90°
∴∠ABE=∠DBC……①
因为□AHDB和□BEKC是正方形，
AB=DB……②
BE=BC……③
根据①～③，2边的夹角相等，因此，
△ABE≌△DBC
由于全等三角形的面积也相等，因此，
S△ABE=S△DBC……④
AK∥BE，所以根据等积变形可以得到，
S△ABE=S△CBE……⑤
同样，BD∥CG，因此，
S△DBC=S△DBF……⑥
根据④～⑥，
S△CBE=S△DBF
将2边乘以2（直角三角形×2=长方形）
S□CBEK=S□GDBF
同上，
S□ACIJ=S□HGFA
综上所述，
因此，
a 2 +b 2 =c 2
搞定！虽然步骤有点儿多，但是顺利得出结论啦。证明过程中用到了许多英文字母，大家都看花眼了吧？该证明的关键也是面积，这里使用了三角形的全等和等积变形这2个知识点。
证明2（爱因斯坦法）
作为证明前的准备，先从C点向AB画垂线CP。
在△ABC中，
∠CAP+∠CBP=90°……①
在△ACP中，
∠CAP+∠PCA=90°……②
①-②得到，
∠CBP-∠PCA=0
∠CBP=∠PCA……③
接下来是△ABC和△CBP，根据上述方法可以得出，
∠CAP=∠PCB……④
通过③、④得到2角相等，所以，
△ABC∽△ACP
△ABC∽△CBP
由于对应边的比是相等的，所以根据△ABC∽△ACP可以得出，
⑤+⑥得到，
哇！相似图形的比例式果然很强大啊！
著名的直角三角形
著名的直角三角形是做成三角尺的2种直角三角形。这2种直角三角形的边长比例堪称完美。接下来，让我们用勾股定理来证明一下吧。
（ⅰ）等腰直角三角形
根据勾股定理，
a＞0，c＞0，所以，
因此，
综上所述，等腰直角三角形的边的比，如下图所示。
（ⅱ）30°和60°的直角三角形
同样根据勾股定理，
a 2 +b 2 =c 2 ……①
另外，把2个这样的直角三角形排列在一起，如下图，
上图中，所有的角度都是60°，所以这是个正三角形，因为3边长度相等，所以，
c=2a……②
把②代入①，
因为a＞0，c＞0，所以，
根据②、③得到，
综上所述，在30°和60°的直角三角形中，各边的比如下图所示：
最重要的是，无论三角形是变大还是缩小，各边的比是固定的，不会改变。
这2个直角三角形的3边之比很容易记住。无论你看到什么样的直角三角形，只要直角以外的角度相同，就说明它们彼此相似（2角相等），所以3边之间的比也是固定的。学习的三角函数对此会展开深入研究。
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