高中数学△ABD中AD=3 BD=5 ∠ADB=2∠ABD求△ABD面积？∠A是直角 对？

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原题

原题：如图，平面四边形ABCD，点B，C，D均在半径为5√3/3，且∠BCD=π/3.

⑴求BD的长度；

⑵若AD=3，∠ADB=2∠ABD，求△ABD的面积。

这道题第一问其实是初中和高中衔接比较大的题，在我们经常运用的高中数学知识来解题的时候，可能一些不常用的初中数学知识就容易遗忘， 而这道题就很好的衔接高中与初中数学知识，达到融会贯通的作用，同时初中数学和高中数学知识的有效衔接也是便于学生对知识的理解。

例如，这道题中的第一问，出现了圆周角BCD，且题中只给出了该圆周角和该圆的半径，就让我们来求三角形BCD的边长BD的值。

其实这道题我们就可以直接根据初中数学的知识，即“同一个圆上的弦所对应的圆周角与该弦所对应的圆心角相等”来解决，当然也可以直接使用高中数学的知识正弦定理来求解，但是这需要我们知道正弦定理不仅包括边和所对应的角正弦的比值相等，还包括这些比值与该三角形的外接圆直径相等。

而该题的第二问是会容易让大家出错的题，因为在求解的过程中，我们会发现这个三角形一个边是3，一个边是5，而且出现两个角二倍的关系——这些知识点都完完全全的将这个三角形ABD指向了直角三角形，而且其中有一个角为30度的那种三角形。

那事实上该三角形ABD是直角三角形吗？

下面就在解题的过程中来看看吧！

第一问

第一问是求BD的长度。

第一种方法就是根据圆周角来求解。

因为同一条弦所对应的圆周角等于该弦所对应的圆心的角一半，所以该BD所对应的圆心角为2π/3.

设该圆的圆心为O，则OB=OD=5√3/3，且∠BOD=2π/3。

根据余弦定理有BD^2=OB^2+OD^2－2·OB·OD·cos∠BOD=(5√3/3)^2+(5√3/3)^2－2×5√3/3×5√3/3×(－1/2)，BD=5.

第二种方法就是根据正弦定理。

根据正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，其中R是三角形外接圆的半径，所以有BD/sin∠BCD=2R=2×5√3/3，BD=5.

第二问

第二问是给出了若AD=3，∠ADB=2∠ABD，求△ABD的面积。

要想解决这道题还得走出误区，那这个三角形ABD到底是不是直角三角形呢？

答案：不是，因为直角三角形如果三边分别为3,4,5，则在这个直角三角形中的两个锐角不会是二倍的关系；如果在直角三角形中两个锐角是二倍的关系，则三边的关系不会是3,4,5，所以该三角形ABD不是直角三角形。

哪知道了该三角形不是直角三角形后，该如何去求解该三角形的面积呢？

只需要有效利用两个角之间的关系，根据倍角公式以及余弦定理求出∠ABD的余弦值和边AB的值，再根据该角余弦值得出该角的正弦值，最后根据面积公式S=1/2·AB·BD·sin∠ABD得出三角形ABD的面积。

设∠ABD=θ，则∠ADB=2θ。

在△ABD中根据正弦定理有AB/sin2θ=AD/sinθ，所以有AB/2sinθcosθ=AD/sinθ，得到AB=6cosθ.

在△ABD中根据余弦定理有AD^2=AB^2+BD^2－2·AB·BD·cosθ，所以9=(6cosθ)^2+25－2×6cosθ×25×cosθ，解得到cosθ=√6/3，所以AB=2√6，sinθ=√3/3.

根据面积公式有S△ABD=1/2×2√6×5×√3/3=5√2.

总结

该题第一问求BD的长，别忘了初中圆周角的知识点以及高中正弦定理公式中存在不仅仅有边和边对应的角的正弦比值相等，还要注意该比值与该三角形外接圆的直径相等一项。

该题第二问需要注意的是，该三角形ABD不是直角三角形，不要被我们常用的直角三角形三边是3,4,5的关系和常用直角三角形两个锐角是二倍角关系所迷惑，要分清楚这两种情况不会同时出现在一个直角三角形中，如果出现在一个三角形中，该三角形不会是直角三角形。

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