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知识·规律·方法
在解决有关矩、菱形、正方形这些特殊的平行四边形的问题时,应紧扣他们的边、角对角线等元素的位置关系与数量关系,考虑他们与题设之间的联系,由此寻找解题的途径。通过作辅助线把特殊的四边形转化为特殊的三角形(直角三角形,等腰三角形)来解决是常用的解题途径。
平行四边形
边:对边平行且相等;
角:对角相等;
对角线:对角线互相平分。
矩形
边:对边平行且相等;
角:四个角都是直角;
对角线:对角线互相平分且相等。
菱形
边:对边平行且四边相等;
角:对角相等;
对角线:对角线互相平分且垂直,每条对角线都平分一组对角。
正方形
边:对边平行且四边相等;
角:四个角都是直角;
对角线:对角线互相平分且垂直,每条对角线都平分一组对角。
下面我们看例题分析
范例解析与拓展训练
中考之中,一般考察的是正方形和矩形居多,偶尔会有菱形。上面所给出的边角对角线的性质往往就是题目给出的已知条件。
例题1:(2005年苏州市数学中考试题)
如图所示,P是矩形内的一点,四边形BCPQ是平行四边形,A’,B’,C’,D’分别是AP,BP,BQ,QA的中点。
求证:A’C’=B’D’
解析:由于A’,B’,C’,D’分别是AP,BP,BQ,QA的中点,有经验的同学知道A’B’C’D’是平行四边形,A’C’与=B’D’
是对角线,从而A’B’C’D’是矩形,利用ABCD是矩形的条件,不难证明这一点。
重点难点:在解题过程中,我们的经验常可起到已发联想、开拓思路、扩大已知条件的作用,如在本题的分析中利用“四边形的中点连线是平行四边形”的这个经验,对寻求思路起了不少作用,因此注意归纳总结,积累经验,对提高分析问题和解决问题的能力是很有益处的。
例题2:(2011年南宁市中考试题)
如图所示,P是正方形ABCD内的一点,在正方形ABCD外一点E,满足∠ABE=∠CBP,BE=BP。
(1)求证:△CPB≌△AEB;
(2)求证:PB⊥BE。
分析:利用正方形各边相等,四个角都是90°的性质,实际中考之中矩形和正方形考察居多。
例题3:(2016年黄石市中考试题)
如图,正方形ABCD的边长为1,点M,N分别在BC和CD上,使得△CMN的周长是2,求:
(1)∠MAN的大小;
(2)△MAN的面积的最小值。
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