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很多人在修完高数后，对无穷小的理解仍然很模糊。
这句话是大一时高数老师讲的。确实，横跨十七、十八世纪的第二次数学危机，爆发的原因就是人们意识到数学上对“无穷小”这个概念并没有一个严谨的定义。后来在柯西等数学家的努力下，无穷小终于扎下了严密的逻辑根基。这里不去从严格的数学形式上讨论无穷小，但借助于1-0.999…，我们将更直观地理解无穷小的奇妙性质，及它与0的区别。
0.999…是关于9的无限循环小数，它是否等于1，即1-0.999…是否等于0，曾在网上掀起了轩然大波。大部分网友认为1-0.999…=0，还有一部分网友认为1-0.999…=0不成立。
1-0.999…=1-3×0.333…=1-3×1/3=1-1=0这样的证明方式，结果是正确的，但是它并不严谨，数学上严格的证明可从戴德金分割及有理数的定义出发去实现。由于1-0.999…=0.000…1，只看0.000…01的形式，我们会误以为它就是一个标准的无穷小，但匪夷所思的是它严格等于0，可以认为0.000…01只是0的无限小数的表示形式。
肯定的一点是，如果1-0.999…=0不成立，那么1-0.999…=ε就会成立，ε是无穷小。这就意味着1-0.999…即0与无穷小ε是不同的。
无穷小ε，我们可以将它写为1/n，当自然数n趋向于无穷大时，ε=1/n就是一个无穷小量。但是，自然数是没有上限的，因此n永远不可能达到无穷大，这就表明1/n永远不可能严格等于0。由此我们看出，无穷小ε永远是大于0的，但任意给定一个不为0的实数A，ε都会比它小，即0＜ε＜A。这也就表明，ε只是可以任意趋向于0的数的集合，对于任意不为0的实数A，集合ε中总存在着一个元素，使得这个元素小于A。
如果我们将ε写成0.000…01的形式，就会发现，小数点到1之间的0的数量会很大，但始终是有限的，这也就说明了1-0.999…等于0而不是无穷小ε的原因。
无穷小与0的区别，明白了吗？
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