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一、美妙的对称 教学目标：帮助学生发现并理解生活中无处不在的对称现象，能够区分对称的类型。 培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。 教学重点：对称的含义及分类，培养利用对称解决问题的数学思想。 教学难点：从生活中的对称联想到很多数学问题的解决。 教学过程： 在丰富多彩的物质世界中，对于各式各样的物体的外形，我们经常可以碰到完美匀称的例子。它们引起人们的注意，令人赏心悦目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚贝壳都使人着迷；蜂房的建筑艺术，向日葵上种子的排列，以及植物茎上叶子的螺旋状颁都令我们惊讶。仔细的观察表明，对称性蕴含在上述各种事例之中，它从最简单到最复杂的表现形式，是大自然形式的基础。
花朵具有旋转对称的性征。花朵绕花心旋转适当位置，每一花瓣会占据它相邻花瓣原来的位置，花朵就自相重合。旋转时达到自相重合的最小角称为元角。不同的花这个角不一样。例如梅花为72°，水仙花为60°。“对称”在生物学上指生物体在对应的部位上有相同的构造，分两侧对称（如蝴蝶），辐射对称（放射虫，太阳虫等）。我国最早记载了雪花是六角星形。其实，雪花形状千奇百怪，但又万变不离其宗（六角星）。既是中心对称，又是轴对称。
很多植物是螺旋对称的，即旋转某一个角度后，沿轴平移可以和自己的初始位置重合。例如树叶沿茎杆呈螺旋状排列，向四面八方伸展，不致彼此遮挡为生存所必需的阳光。这种有趣的现象叫叶序。向日葵的花序或者松球鳞片的螺线形排列是叶序的另一种表现形式。 “晶体闪烁对称的光辉”，这是俄国学者费多洛夫的名言。无怪乎在古典童话故事中，奇妙的宝石交织着温馨的幻境，精美绝伦，雍容华贵。在王冠上，以其熠熠光彩向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。
在闹钟、屋架、飞机等的外形图中，可以找到一条线，线两边的图形是完全一样的。也就是说，当这条线的一边绕这条线旋转180度后，能与另一边完全重合。在数学上把具有这种性质的图形叫作轴对称图形，这条线叫作对称轴。电扇的叶子不是轴对称图形，不管怎么画线，都无法找到这条直线。但电扇的一个扇叶，如果绕这电扇中心旋转180度后，会与另一个扇叶原来所在位置完全重合。这种图形数学上称为中心对称图形，这个中心点称为对称中心。显然闹钟也是一个中心对称图形。所有轴对称和中心对称图形，统称为对称图形。
人们把闹钟、飞机、电扇制造成对称形状，不仅为了美观，而且还有一定的科学道理：闹钟的对称保证了走时的均匀性，飞机的对称使飞机能在空中保持平衡。 对称也是艺术家们创造艺术作品的重要准则。像中国古代的近体诗中的对仗，民间常用的对联等，都有一种内在的对称关系。如果说建筑也是一种艺术的话，那么建筑艺术中对称的应用就更广泛。中国北京整个城市的布局也是以故宫、天安门、人民英雄纪念碑、前门为中轴线(对称轴)两边对称的。
对称还是自然界的一种生物理象。不少植物、动物都有自己的对称形式。比如人体就是以鼻尖、肚脐眼的连线为对称轴的对称形体，眼、耳、鼻、手、脚、乳房都是对称生长的。眼睛的对称使人观看物体能够更加准确；双耳的对称能使所听到的声音具有较强的立体感，确定声源的位置，双手、双脚的对称能保持人体的平衡。
对称是数学研究的重要内容，但数学中的对称概念不仅限于图形的对称，也把数对(3，4)与(-3，4)称为平面上关于y轴对称；把数对(3，4)与(-3，-4)称为平面上关于坐标原点对称。另外还有对称方程、对称行列式、对称矩阵等概念 3
二、蜘蛛网中蕴含的数学
教学目标：理解蜘蛛网构成的对数螺线，利用蜘蛛网的启示解决最短路径问题。培养学生善于从生活中发现数学问题，从而产生对数学浓厚的兴趣。 教学重点：蜘蛛网构成的对数螺线，利用蜘蛛网的启示解决最短路径问题。 教学难点：从蜘蛛网中联想探寻解决一些问题的办法。 教学过程：
（一）曾看过这样一则谜语:“小小诸葛亮，稳坐军中帐。摆下八卦阵，只等飞来将。”动一动脑筋，这说的是什么呢?原来是蜘蛛，后两句讲的正是蜘蛛结网捕虫的生动情形。我们知道，蜘蛛网既是它栖息的地方，也是它赖以谋生的工具。而且，结网是它的本能，并不需要学习。你观察过蜘蛛网吗?它是用什么工具编织出这么精致的网来的呢?你心中是不是有一连串的疑问，好，下面就让我来慢慢告诉你吧。在结网的过程中，功勋最卓著的要属它的腿了。首先，它用腿从吐丝器中抽出一些丝，把它固定在墙角的一侧或者树枝上。然后，再吐出一些丝，把整个蜘蛛网的轮廓勾勒出来，用一根特别的丝把这个轮廓固定住。为继续穿针引线搭好了脚手架。它每抽一根丝，沿着脚手架，小心翼翼地向前走，走到中心时，把丝拉紧，多余的部分就让它聚到中心。从中心往边上爬的过程中，在合适的地方加几根辐线，为了保持蜘蛛网的平衡，再到对面去加几根对称的辐线。一般来说，不同种类的蜘蛛引出的辐线数目不相同。丝蛛最多，42条；有带的蜘蛛次之，也有32条；角蛛最少，也达到21条。同一种蜘蛛一般不会改变辐线数。
到目前为止，蜘蛛已经用辐线把圆周分成了几部分，相临的辐线间的圆周角也是大体 相同的。现在，整个蜘蛛网看起来是一些半径等分的圆周，画曲线的工作就要开始了。蜘蛛从中心开始，用一条极细的丝在那些半径上作出一条螺旋状的丝。这是一条辅助的丝。然后，它又从外圈盘旋着走向中心，同时在半径上安上最后成网的螺旋线。在这个过程中，它的脚就落在辅助线上，每到一处，就用脚把辅助线抓起来，聚成一个小球，放在半径上。这样半径上就有许多小球。从外面看上去，就是许多个小点。好了，一个完美的蜘蛛网就结成了。 让我们再来好好观察一下这个小精灵的杰作:从外圈走向中心的那根螺旋线，越接近中心，每周间的距离越密，直到中断。只有中心部分的辅助线一圈密似一圈，向中心绕去。小精灵所画出的曲线，在几何中称之为对数螺线。
对数螺线又叫等角螺线，因为曲线上任意一点和中心的连线与曲线上这点的切线所形成的角是一个定角。大家可别小看了对数螺线:在工业生产中，把抽水机的涡轮叶片的曲面作成对数；螺线的形状，抽水就均匀；在农业生产中，把轧刀的刀口弯曲成对数螺线的形状，它就会按特定的角度来切割草料，又快又好。
（二）爸爸出差前，留给小华一道题： 图1是某地区的交通网。其中小圈代表城镇，小圈间的连线代表道路，连线旁的表示该段道路的千米数，请你选择一条从A 到B的最短线路。
爸爸还特意交给小华一个“锦襄”，嘱咐他不到万不得已的时候不要拆开。小华是个要强的孩子，题目未解出来，他才不会去看什么“锦襄妙计”呢！可说说容易，做起来还真难。小华绞尽脑汁，想了一天还是没有眉目。吃过晚饭，他信步走进小树林，树林里比家里可有趣多了！他东瞅瞅、西瞧瞧，一眼落到一张硕大的蜘蛛网上。这张蜘蛛网，多象那张交通图呀！突然，一只小虫撞到网上，蜘蛛象触电一样，迅速出击，抓住了小虫。蜘蛛那美滋滋的样子，似乎在嘲笑小华。
对了，蜘蛛一定是凭着它的本能沿着最短线路抓住小虫的，可蜘蛛是怎样选择最短线路的呢？正巧，又一只小虫撞到了网上。小华睁大了眼睛，这一下他看清楚了：原来，当小虫被网缠住后，奋力挣扎，于是便不断地拉紧连到网中心的蜘蛛的最短的那根丝，把被俘获的信息传给了蜘蛛，蜘蛛便立即沿着不断被拉紧的那根丝扑向小虫。
小华不断地捶着自己的脑袋，口里直嚷嚷：“有了！有了！”他想，只要用一种伸缩性很小的细线按交通网形状和各条道路的长短比例，编织一副真正的“交通网”，要求A、B两地的最短线路。只须把网上相当于A、B两地的网结各自向外拉，则由A到B的最短路线所通过的道路一定位于被拉紧的细线上。
小华高兴地打开锦囊，妙极了，他和爸爸的解法完全一样。爸爸的解法后面还有几行字： “这种解法叫做模拟法，它是研究科学的一种重要方法，自然界中简单的现象往往孕育着深刻的道理，放开你的眼界打破学科的界限，努力去探索吧！”
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