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平行四边形的存在性问题，近几年的考题中主要考察有1个动点和2个动点两种类型。其中两个动点的更多一些。但是也不排除出其它的可能性。
压轴题中解平行四边形的存在性问题一般可以分三步：
下面来看看平行四边形的存在性问题是怎么考的？都是怎么解决这些存在性问题的，按照这个步骤解题，你学到了什么？
【分析】
本题难度不大，因为MN∥CE，因此只需要设未知数表示出MN的长度（铅锤高）即可，然后与CE相等建立等量关系求出未知数。
不过注意题目中的条件，M为射线EB上的一点，其它地方无效。
解：抛物线的解析式为y＝x﹣2x﹣3，
直线AB的解析式为y＝x﹣3，
∵y＝x﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的顶点C的坐标为（1，﹣4），
∵CE∥y轴，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，
①如图，若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，则CE＝MN，
设M（a，a﹣3），则N（a，a﹣2a﹣3），
∴MN＝a﹣3﹣（a﹣2a﹣3）＝﹣a+3a，
∴﹣a+3a＝2，
解得：a＝2，a＝1（舍去），
∴M（2，﹣1）
②如图，若点M在x轴上方，四边形CENM为平行四边形，则CE＝MN，
∴MN＝a﹣2a﹣3﹣（a﹣3）＝a﹣3a，
∴a﹣3a＝2，
解得：a=(3+√17)/2，a=(3-√17)/2（舍去），
∴M（(3+√17)/2，(-3+√17)/2），
综合可得M点的坐标为（2，﹣1）或（(3+√17)/2，(-3+√17)/2）．
【例题1】如图，已知抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．若以A、C、P、M为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
解析：由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)＝－(x＋1)2＋4，
得A（－3，0），B（1，0），C（0，3），P（－1，4）．
如图，过△PAC的三个顶点，分别作对边的平行线，三条直线两两相交的三个交点就是要求的点M．
①因为AM1//PC，AM1＝PC，那么沿PC方向平移点A可以得到点M1．
因为点P(－1，4)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位可以与点C(0，3)重合，所以点A(－3，0)先向下平移1个单位，再向右平移1个单位就得到点M1(－2，－1)．
②因为AM2//CP，AM2＝CP，那么沿CP方向平移点A可以得到点M2．
因为点C(0，3)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可以与点P(－1，4)重合，所以点A(－3，0)先向左平移1个单位，再向上平移1个单位就得到点M2(－4，1)．
③因为PM3//AC，PM3＝AC，那么沿AC方向平移点P可以得到点M3．
因为点A(－3，0)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位可以与点C(0，3)重合，所以点P(－1，4)先向右平移3个单位，再向上平移3个单位就得到点M3(2，7)．
【例题2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝－x2+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
解析． 由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．
①如图1，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB 的中点（1，0）对称，所以点M的横坐标为2．
当x＝2时，y =－x2+2x＋3＝3．此时点M的坐标为(2，3)．
②如图2，图3，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4． 所以点M的横坐标为4或－4．
如图2，当x＝4时，y =－x2+2x＋3＝－5．此时点M的坐标为(4，－5)．
如图3，当x＝－4时，y =－x2+2x＋3＝－21．此时点M的坐标为(－4，－21)．
写在最后：压轴题之平行四边形的存在性，大部分学生都觉得不叫困难，往往都是望而却步，但通过认真地分析题目和总结方法，还是可以得到解决的。
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