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【思路分析】
（1）第1问，求抛物线与坐标轴的交点，令x=0与y=0，可以求出抛物线与y轴、x轴的交点，就可以求出A、B、C三个点的坐标；将抛物线配方后可得顶点式，可得对称轴与抛物线的顶点坐标；然后根据图像直观，可判断三角形ABC的形状，是一个直角三角形。证明的思路可以从A、B、C三个点的坐标入手，利用两点间距离公式，将AB、AC、BC三边分别求出来，然后根据勾股定理逆定理可判定三角形的形状；
（2）第2问叙述文字一大堆，我们进行简化：三角形PCD面积最大，这时的点P只有一个，先求出点P的坐标；分析“Q点从点P出发，……，最后沿着适当的路径运动到点A处停止”这一句话，从点M到点N，MN垂直于抛物线对称轴，说明这里的MN的位置没有确定，但是路程是确定的，不管从哪里走，始终有MN长度等于根号三，因此将点P向左平移根号三个单位到点P’，这时候最短的问题便可以转化为“两点之间，线段最短”的问题，发现问题的本质后，接下来的计算就水到渠成了；
（3）第3问看上去也是挺复杂的，好吓人的样子。其实，我们也可以一点一点的处理条件，达到转化的目的。我们先将三角形AOC绕点O顺时针旋转至三角形A1OC1，的位置，点A’恰好落在AC上，这里正好有一个特殊的等边三角形A1OA，因此可以求出A1、C1的坐标；平移抛物线，使得抛物线的顶点E在射线AE上移动，这就说明，我们可以利用待定系数法表示出动点E’、A’的坐标，根据勾股定理可得C1A’、C1E’、A’E’的长度，因此要使得三角形A’C1E’是一个等腰三角形，只需要分类讨论即可。
（4）本题是抛物线的综合题，涉及了二次函数、一次函数、函数最大值、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理及逆定理等众多知识，考查了轴对称变换、平移变换、旋转等几何核心知识，从点动到线动再到面动，解答是需要数形结合、分类讨论、构建数学模型，对学生的推理、抽象、直观想象能力、字母的运算能力要求很高，层次分明，是一道很好的压轴题！
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