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欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，等腰三角形的分类讨论，从初一到初三，都有出现，尽管有些难度，但也履属常见，下面介绍一道这类题型，可不是一般人能解决的，不信挑战下！挑战前可以“小瞄”一下图，但不要看解析哟！
例：在等边△ABC图形所在平面内找出一点，使该点到三角形中的任意两个顶点组成的三角形都是等腰三角形，这样的点一共有（ ）个.
A. 10 B. 7 C. 4 D. 1
【解析】
①所组成的三角形，未明确谁是腰，所以A、B、C三点可能是顶角的顶点，也可能是底角的顶点；
②要组成等腰三角形，则到A、B或A、C或B、C的距离相等，说明该点应在AB、AC、BC的垂直平分线
此时等腰三角形，A、B、C是底角的顶点，要找的点是等腰三角形顶角的顶点；
③当A、B、C作等腰三角形顶角的顶点时，分别以A、B、C为圆心，AB（或BC、AC）长为半径画圆，此时等腰三角形，A、B、C是顶角的顶点，AB、AC、BC即为该三角形的腰长；
④要满足该点及任意两点组成的三角形均是等腰三角形，既要满足②和③两个要求，故该点应该在圆与垂直平分线的交点上，这样的点共有9个；再加上三条垂直平分线的交点，所以满足要求的点有10个，分别是D、E、F、G、H、M、N、P、Q、O；
⑤以这些点中任意一个点为例来验证结论。如取G点，
由于G在AB的垂直平分线上，所以GA=GB，△GAB是等腰三角形；
由于G在以A为圆心的圆上，依半径处处相等，可得AG=AC，△GAC是等腰三角形；
由于G在以B为圆心的圆上，依半径处处相等，可得BG=BC，△GBC是等腰三角形；
所以G与△ABC中的任意两个顶点组成的三角形都是等腰三角形，符合题目要求。
【点评】
本题考查等腰三角形的分类讨论及垂直平分线的性质，解题方法是“两圆一线”。
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