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鸡兔同笼,是中国古代著名典型趣题之一,最早记载于《孙子算经》之中。
鸡兔同笼问题,是小学奥数的常见题型,解法很多,每一种方法都体现了数学的魅力所在,并不能说哪一种方法就好,哪一种方法就差,最关键的还要看在解题过程中培养学生形成发散的思维,不要让孩子拘泥于形式,只要能用自己的方法解出就是最好的方法。
当然在实际应用中低年级学生常用列举法和假设法,高年级学生常用列方程来解决问题。
下面我们来看看《孙子算经》中的原题。书中是这样叙述的: 今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?翻译过来就是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔?
下面我们来介绍几种解法。
方法一、列表法
对于低年级学生来说,我们可以用列表法来解决这类问题,但是相对麻烦一些。
我们可以先列一个表格,然后将鸡、兔总脚数分别依次列出,通过逐个比对,最终能够发现当鸡等于23只,兔等于12只时,满足题目的条件,这样就做出来了。在这个过程中注意培养孩子归纳总结的能力。
方法二、假设法
具体做法,因为总共有35头而每一只动物只有一个头,所以可以假设35只全部是鸡,那么应该有35×2=70只脚,而实际有94只脚,差下94-70=24只脚,而通常情况下每只兔子比每只鸡多两只脚,显然多的24只脚都是兔子的,所以有12只兔子,35-12=23只鸡。
公式:如果假设全是鸡:(总脚数-总头数×一只鸡脚的数量)÷(一只兔子脚的数量-一只鸡的脚的数量)
当然也可以假设全是兔子:应该有脚4×35=140(只) 兔子脚比总数多:140-94=46(只) 兔子比鸡多的脚数:4-2=2(只) 鸡的只数:46÷2=23(只) 兔子的只数:35-23=12(只)
公式:如果假设全是兔子:(总头数×一只兔子脚的数量-总脚数)÷(一只兔子脚的数量-一只鸡的脚的数量)
方法三、抬腿法
抬腿法一:
如果让鸡抬一只脚和兔子抬两只脚,这时腿的数量就减半,变成94÷2=47(只)脚,现在每鸡一只脚着地,每只兔子两只脚着地,鸡的数量就是腿的数量,兔子的腿就比兔子的数量多1。 那么现在腿的总数量与头的数量之差47-35=12,就是兔子的数量。然后算出鸡的数量。
列式: 如果鸡抬一只脚,兔子抬两只脚:兔子数量94÷2-35=12(只);鸡的数量:35-12=23(只)
总结公式:兔子的只数=总腿数÷2-总只数。
抬腿法二:(类似砍腿法)
先让兔子和鸡同时抬两只脚,脚的总数减少35×2=70(只)脚,剩下的脚就全是兔子的了,还剩下94-70=24(只)脚,现在每一只兔子就还两只脚,那么24里面有几个2就有几只兔子,用24÷2=12(只),鸡:35-12=23(只)。
列式: 如果鸡和兔子同时抬起两只脚:兔子的数量:
(94-35×2)÷2=12(只);
鸡的数量:35-12=23(只)。
抬腿法三
假设鸡和兔子都听指挥,那么让所有动物5抬起一只脚, 笼中站立的脚: 94-35=59(只) 然后再抬起一只脚,这时候鸡两只脚都抬起来就摔倒了,只剩下用两只脚站立的兔子,
站立脚:59-35=24(只)
兔:24÷2=12(只)
鸡:35-12=23(只)
方法四、砍足法
假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚,则每只鸡就变成了“独角鸡”,每只兔就变成了“双脚兔”.这样,(1)鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只;(2)如果笼子里有一只兔子,则脚的总数就比头的总数多1.因此,脚的总只数47与总头数35的差,就是兔子的只数,即47-35=12(只).显然,鸡的只数就是35-12=23(只)了.
方法五、一元一次方程法:
(1)解:设兔有x只,则鸡有(35-x)只。 4x+2(35-x)=94 解得x=12 鸡:35-12=23(只) 答:兔子有12只,小鸡有23只。
(2)解:设鸡有x只,则兔有(35-x)只。 2x+4(35-x)=94 解得x=23 兔:35-23=12(只) 所以兔子有12只,鸡有23只。答:兔子有12只,小鸡有23只。
方法六、二元一次方程组法:
解:设鸡有x只,兔有y只。
则x+y=35, 2x+4y=94
(x+y=35)×2=2x+2y=70
(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)
y=12
把y=12代入(x+y=35)
x+12=35
x=35-12
x=23。
答:兔子有12只,鸡有23只。
数学的学习需要思考,在最开始的阶段千万不要告诉孩子怎么去做,而是让孩子去探索答案,只要能解出来就是孩子的最好的答案。
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