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几何知识是中考的一个必考点，很多同学在解决几何问题时总找不准方向，没有解题思路，看到几何题就懵了。其实，只要学会建立模型就变得简单。在解题的时候，直接套模型就可以了！
正如著名数学家波利亚指出：拿一个有意义而又不复杂的题目去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域.几何计算是给出已知条件，让学生去推理计算，许多时候学生的思维盲目，难以想到解题切入点，这就需要我们挖掘几何模型的应用魅力。所谓“授人以鱼不如授人以渔”，知识是“鱼”，方法是“渔”，方法比知识更重要，在老师眼里没有学不好的学生，只有不会学的学生！一个适合自己的正确学习方法肯定能让孩子学习事半功倍！
三角形的几何模型
经典考题
1．（2019春宛城区期末）【问题背景】
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B＝∠C+∠D；
【简单应用】
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数；
【问题探究】
（3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，请猜想∠P的度数，并说明理由．
【拓展延伸】
（4）在图4中，若设∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝1/3∠CAB，∠CDP＝1/3∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为：____________ （用α、β表示∠P，不必证明）
【解析】（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵AP、CP分别平分∠BAD．∠BCD
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
由（1）的结论得：
①+②，得2∠P+∠1+∠3＝∠2+∠4+∠B+∠D，
∴∠P＝1/2（∠B+∠D）＝26°．
（3）如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠PAD＝180°﹣∠2，∠PCD＝180°﹣∠3，
∵∠P+（180°﹣∠1）＝∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1＝∠B+∠4，
∴2∠P＝∠B+∠D，
∴∠P＝1/2（∠B+∠D）＝1/2×（36°+16°）＝26°；
（4）∠P＝2/3α+1/3β．
2．（2019春闵行区期中）（1）在锐角△ABC中，BC边上的高所在直线和AB边上的高所在直线的交点为P，∠APC＝110°，求∠B的度数；
（2）如图，AF和CE分别平分∠BAD和∠CAD．当点D在直线AC上时，∠APC＝100°，则∠B的度数；
（3）在（2）的础上，当点D在直线AC外时，如图：∠ADC＝130°，∠APC＝100°，求∠B的度数．
【解析】本题考查三角形的外角，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
（1）如图1中，∵AF，CE是高，
∴∠AFB＝∠AEC＝90°，
∵∠APC＝∠AEP+∠PAE，
∴∠PAE＝110°﹣90°＝20°，
∴∠B＝90°﹣∠PAE＝90°﹣20°＝70°．
（2）如图2中，∴∠APC＝100°，
∴∠PAC+∠PCA＝180°﹣100°＝80°，
∵∠BAC＝2∠PAC，∠BCA＝2∠PCA，
∴∠BAC+∠BCA＝160°，
∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠BCA）＝180°﹣160°＝20°．
（3）如图3中，∵∠ADC＝∠2+∠3+∠APC，∠APC＝∠1+∠4+∠B，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠B＝70°．
3．（2019柯桥区模拟）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合）．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB＝________°；
（2）如图2，若∠MON＝n°，∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；
（3）如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN、∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；
（4）如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E．试问：随着点A、B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．
【解析】：（1）∵∠MON＝90°，
∴∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝1/2×90°＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣45°＝135°；
故答案为：135；
（2）在△AOB中，∠OBA+∠OAB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣n°，
∵∠OBA、∠OAB的平分线交于点C，
∴∠ABC+∠BAC＝1/2（∠OBA+∠OAB）＝1/2（180°﹣n°），
即∠ABC+∠BAC＝90°﹣1/2n°，
∴∠ACB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（90°﹣1/2n°）＝90°+1/2n°；
（3）∵BC、BD分别是∠OBA和∠NBA的角平分线，
∴∠ABC＝1/2∠OBA，∠ABD＝1/2∠NBA，
∠ABC+∠ABD＝1/2∠OBA+1/2∠NBA，∠ABC+∠ABD＝1/2（∠OBA+∠NBA）＝90°，
即∠CBD＝90°，
同理：∠CAD＝90°，
∵四边形内角和等于360°，
∴∠ACB+∠ADB＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
由（1）知：∠ACB＝90°+1/2n°，
∴∠ADB＝180°﹣（90°+1/2n°）＝90°﹣1/2n°，
∴∠ACB+∠ADB＝180°，∠ADB＝90°﹣1/2n°；
（4）∠E的度数不变，∠E＝40°；理由如下：
∵∠NBA＝∠AOB+∠OAB，
∴∠OAB＝∠NBA﹣∠AOB，
∵AE、BC分别是∠OAB和∠NBA的角平分线，
∴∠BAE＝1/2∠OAB，∠CBA＝1/2∠NBA，
∠CBA＝∠E+∠BAE，即1/2∠NBA＝∠E+1/2∠OAB，
1/2∠NBA＝∠E+1/2（∠NBA﹣80°），
1/2∠NBA＝∠E+1/2∠NBA﹣40°，
∴∠E＝40°．
4．（2019春常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：
（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F．试说明∠AEF＝∠AFE；
（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？
（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．
【解析】：（1）如图1中，∵∠AEF＝∠B+∠ECB，∠AFE＝∠FAC+∠ACE，
又∵∠B＝∠FAC，∠ECB＝∠ACE，
∴∠AEF＝∠AFE．
（2）如图2中，
∵∠ACE＝1/2∠ACB，∠ACP＝1/2∠ACQ，
∴∠ECP＝∠ACE+∠ACP＝1/2（∠ACB+∠ACQ）＝90°，
∴∠P+∠AEC＝90°，
∵∠AEF＝∠AFE＝∠CFD，
∴∠P+∠CFD＝90°．
（3）如图3中，延长PE交BC于H，设PA交AC于K．
∵∠EKC＝∠KPF+∠PFA，∠EHC＝∠B+∠BPK，
又∵∠B＝∠CFD＝∠PFA，∠KPF＝∠BPH，
∴∠EKC＝∠EHC，
∵CE⊥KH，
∴∠CEK＝∠CEH＝90°，
∴∠EKC+∠ECK＝90°，∠EHC+∠ECH＝90°，
∴∠ECK＝∠ECH，
∴EC平分∠ACB．
5．（2019春锡山区期中）如图1．直线m与直线n垂直相交于O，点A在直线m上运动，点B在直线n上运动．AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线．
（1）求∠ACB的大小：
（2）如图2．若BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线．BD与AC相交于点D．点A、B在运动的过程中，∠ADB的大小是否会发生变化？若发生变化．请说明理由；若不发生变化．试求出其值；
（3）如图3．过C作直线与AB交于F，且满足∠AGO﹣∠BCF＝45°．求证：CF∥OB．
【解析】：（1）∵AC平分∠BAO，CB平分∠ABO，
∴∠BAC＝∠CAO，∠ABC＝∠OBC，
设∠BAC＝∠CAO＝x，∠ABC＝∠OBC＝y，
在△ABO中，2x+2y+∠AOB＝180°，∵∠AOB＝90°，
∴x+y＝45°
在△ACB中，x+y+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝180°﹣（x+y）＝135°；
（2）∠ADB的大小不会发生变化，
∵BD是△AOB的外角∠OBE的角平分线，AC是∠BAO的角平分线，
∴∠BAD＝1/2∠BAO，∠DBE＝1/2∠EBO，
∵∠EBO＝∠AOB+∠OAB，∠EBD＝∠BAD+∠D，
∴∠EBD＝1/2∠EBO＝1/2∠OAB1/2+1/2×90°＝1/2 ∠OAB+∠D，
∴∠D＝45°；
（3）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠BAD＝1/2∠BAO，∠CBG＝1/2∠ABO，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠BAD+∠CBG＝45°，
∵∠AGO＝∠BAD+∠ABO＝∠BAD+2∠CBG＝∠CBG+45°，
∴∠CBG＝∠AGO﹣45°，
∵∠AGO﹣∠BCF＝45°，
∴∠BCF＝∠AGO﹣45°，
∴∠CBG＝∠BCF，∴CF∥OB．
方法总结
总之，学习几何知识时，要努力做到以下几点：
1.转变学习思路，把几何模型的总结归纳和合情推理、想象有机的结合起来，通过猜想、观察、归纳等合情推理，消除对几何学习的恐惧心理。
2.读图、识图要遵循几个规律：从简单到复杂，从具体到抽象、从特殊到一般、从拆分到组合，从已知到未知。
3.作辅助线要根据已知条件以及与其有关的定理去思考，或者进行逆向思维，从结论出发，结合已知条件缺什么补什么。
4.要重视学习过程的体验，以便弄清几何概念，定理的来龙去脉。在小学阶段对图形已有了比较丰富的感性认识，在感性认识的基础上，借助分析、比较、综合、抽象、概括等思维活动，要形成理性概念。
5.很有必要这样做：量一量、摆一摆、画一画、折一折、猜一猜。观察图形、识别方向、制作模型、充分地体会学习过程。
总之，初中几何学习时，要转变旧的思维方式，尤其要转变小学算术式的学习思维方式，以努力提高自己的读图、推理、论证、书写推理步骤为重点，才能在初中几何的学习中立于不败之地。
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