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庞加莱50岁时，提出了"千禧难题之一的"庞加莱猜想"，它是一个拓扑学中带有基本意义的命题，如能得到解决，将有助于人类更好地研究三维空间。这个猜想表述为:任何一个封闭的，并能柔软延展的三维空间里面所有的封闭曲线，如果都可以收缩成一点，则该空间一定能被吹涨成一个三维圆球。 这个猜想我们不妨这样来打个比方。我们住在一个超级大的足球房子里，房子没有门窗，但结实到足以抗十二级地震。我们来吹一只皮无限薄、但怎么也不会破的气球，吹到最后庞加莱先生就猜想，那气球一定是会和球形房子的表面，紧密贴合毫无间隙的吧？ 这个猜想后来被推广至三维以上空间，史称“高维庞加莱猜想”。庞加莱一度认为自己就已经证明了，但经过仔细核查，他证明中的错误很快被发现。一次又一次尝试的失败，使得庞加莱猜想成为出名的数学难题。这逐渐引发了拓扑学家们的兴趣，他们开始了证明它的长征。 美国数学家斯梅尔感觉，三维的庞加莱猜想太难以解决，但高维的会不会容易些呢？1961年斯梅尔证明了大于等于五维空间的情形，获得1966年菲尔兹奖；1983年美国数学家福里德曼证出了四维空间也获得菲尔兹奖；2006年数学界最终确认，犹太籍俄罗斯数学家Grigory Perelman格里戈里·佩雷尔曼的证明，解决了三维空间情形！但佩雷尔曼先生认为“理想的科学家，除科学之外不关心其他的事情"，他希望生活在那样理想的境界。2003年佩雷尔曼拒绝了数学界最高荣誉"菲尔兹"奖，并宣布退出数学界做一名隐士。2010年7月佩雷尔曼又拒绝了，美国克雷数学研究所承诺的那100万美金。 陶渊明因为厌倦官场的勾心斗角，而选择"采菊东篱下，悠然见南山"，佩雷尔曼因为厌倦科学界的名利纷争，而感悟到了"此中有真意，欲辩已忘言"的真谛。
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