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斐波那契数列是一个众所周知的且经过研究的数字序列，经常在学校和休闲数学中使用，因为它很容易被那些受过有限的专业数学教育的人理解。序列的定义如下：第一项是零，第二项是一，任何其他项都是序列前两项的和。这个序列的正式写法如下
当n> 1时。序列的前十项为0、1、1、2、3、5、8、13、21、34。
有大量证据表明，这些数字是Sanskit诗歌传统的一部分，在2000年前就为人们所熟知。在欧洲，该序列首次出现在1202 年斐波那契的书Liber Abaci中，在那里他用它来模拟兔子种群。如今，该序列已在许多领域得到应用，包括经济学，光学和金融市场交易
斐波那契数具有很多有趣且令人惊讶的特性，在此我将举例说明和证明其中两个。两种证明都将使用数学归纳法
1.数学归纳法
如果您不熟悉数学归纳法，请这样考虑。想象一下，我拥有一套永无止境的多米诺骨牌，而我将把它们全都站起来，形成一串多米诺骨牌，它们将永远相互撞倒。为确保发生这种情况，我需要了解以下内容：
第一个多米诺骨牌被击倒了。
2.碰到任何多米诺骨牌都会导致下一个多米诺骨牌被碰倒。
以类似的方式，我们可以通过证明以下事实来证明对于所有数字n都是正确的：
1. n = 1时成立(称为归纳开始)
2. 如果n = k成立，那么n = k + 1也成立。(这被称为归纳步骤。即证明如果所有n≤k都成立，那么n = k + 1也成立。)
2。关于“斐波那契三胞胎”的一个有趣的结果
三个连续的斐波那契数的所有组之间都有一种迷人的关系。在我们将定理和证明形式化之前，这里首先是一个例子。
例2.1：如果您采用任意三个连续的斐波那契数，则中间数的平方与外部两个数的乘积始终不超过1。观察连续的三元组8、13、21，可以看到168 ﹣169 = -1。如果您查看后面的三元组89、144、233，我们会看到20737 ﹣20736 = 1。
让我们正式证明这个结果。
定理2.2：对于任何三个连续的斐波那契数集
证明：为了从n= 1 开始归纳，我们看到前两个斐波那契数是0和1，并且根据需要0 ﹣ 1 = -1。现在对于归纳步骤，我们假设对于n = k，结果为true ，即：
现在我们来看n= k + 1的情况，我们观察到：
现在我们从假设中知道：
将其代入先前的等式，我们得到：
最后，可以将其重新排列为：
这是n=k+1所需的结果。
3.在斐波那契数列中“跳跃式前进”
如果你认为在不知道前两项的情况下，是不可能计算斐波那契数列中的一项的，这是可以理解的，但这并不完全正确。下面的结果可以让您基于在序列中相当靠后的项来计算项的值。
定理3.1：对于任何正整数m和n：
证明：我们对m使用归纳法。对于m = 1，方程简化为一个平凡恒等式，因此建立了归纳法。
现在我们假设结果对m = k成立我们的目标是证明它对m = k + 1成立。我们来看看方程的右边m = k + 1的情况。
例3.2:为了好玩，让我们来计算第21个斐波那契数——这将演示如何构建算法来构造非常大的斐波那契数。首先，我们可以说，20 = 10 + 10，递归地工作，直到我们找到早期的斐波那契数的值：
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