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泰勒斯是希腊数学史上第一位留下姓名的人。在泰 勒斯所处的时代很久以前，人们已经知道了许多数学事 实。例如，等腰三角形的底角相等；圆被其任意一条直 径二等分；内接于半圆的角必为直角等等，这些结果都 不难依据直观和实验的方法得到。泰勒斯受当时西方唯 理论思想的影响，不满足于以经验为根据的方法，而采 用了某种逻辑推理的方法对几何事实予以证明，成为演 绎方法的最初倡导者之一。在数学方面的功绩在于开始 把几何学从经验的概括变成了一种自觉的、审慎的智力 活动。这样也更便于把几何知识条理化，从而把数学结 果的建立由“实验室”搬进了“书斋”，其思想上的价值， 不愧称为数学发展史上的一个里程碑。 泰勒斯是公元前六世纪前半期的人，生于小亚西亚 西南海岸的米利都，米利都是当时新兴的商业城市之一。 泰勒斯早年经商，在他赚取了足够的钱财之后，开始了 他的研究和旅行生活。关于他，有许多有趣的传说，反 映出他的个人秉性和特点。据说，有一匹骡子，每当驮 盐过河时发现在水中打滚能减轻负载，这使得盐商遭受 损失。为了改变这种令人讨厌的习性，泰勒斯就让它驮 海绵。由于海绵能汲附河水，在河中打滚反而增加了重 量，从而治住了这匹难对付的骡子。有一次，泰勒斯在 观察星辰时不小心掉在沟里。一个色雷斯女奴隶笑他说： 想要知道天上发生的事，可是连自己脚边上有什么也看 不见。其实，泰勒斯的眼睛并不总是盯着天上，也不属 2 数学家的故事 于书呆子类型的人物，比如他就很会做买卖。一次，他 炫耀自己致富是何等地容易。当时，他预见到橄榄油将 获得丰收，就买下了该地区所有的榨油设备，然后找准 时机再把它们租出去，获得了可观的利润。还有一次梭 伦问他为什么一辈子不结婚？泰勒斯并不作正面答复， 而作出惊人之举。他在第二天派人给梭伦送去一个假消 息，说梭伦心爱的儿子遇到了意外，突然被人杀死了。 正在梭伦为儿子惨遭不幸而异常伤心的时候，泰勒斯才 向梭伦讲明原委。他说：我只不过是想告诉你我为什么 一辈子不打算结婚。当别人问起，怎样才能引导更多的 人正直地生活时，他劝告说：每个人都别做自己讨厌别 人做的事。有趣的是，泰勒斯的思想正与中国古训“己 所不欲，勿施于人”相合。由于泰勒斯游历过许多地方， 见多识广，别人问他曾见过最稀奇的东西是什么？他答 道：寿命长的暴君。 当时，位于现今伊朗、阿富汗北部和土耳其东部的 米太国和位于现今土耳其西部的吕地亚国发生一场剧烈 的战争，战争延续了五年还难见胜负，死伤很多人，百 姓生活十分痛苦，怨声载道。传说泰勒斯推算出某日将 有日蚀发生，便传扬“上天反对这场战争”，预言将在某 月某日用日蚀作出警告。果然到了那一天，两军正相互 厮杀酣战不止，突然太阳失去光辉，群鸟归林，顿时白 昼变成了黑夜，天空中明星闪烁。这使交战双方的将领 大为惊恐，于是赶紧停战和好，后来两国还互通嫁娶成 为友好国家。据推算，这次日蚀发生在公元前 585 年 5 月28 日。历史学家们往往利用日蚀发生的时间反过来推 断这次战争的年代。 泰勒斯曾游历过巴比伦、埃及等地，他在埃及的时 3 数学家的故事 候曾利用日影来计算金字塔的高度，这件事使埃及法老 阿美西斯都感到十分惊奇。关于测算金字塔高度的方法 有两种传说，较早的说法是由亚里士多德的学生希罗尼 穆斯提出的。他说：泰勒斯在他的影子和自己身高一样 长的时候记下金字塔影子的长，从而直接推断出金字塔 的高度就是塔影的长度。另一个说法来自希腊历史学家 普鲁塔克的记载，据称泰勒斯把一根长杆垂直竖立在平 地上，利用塔影长与杆影长的比等于塔高与杆长的比， （塔高？）∶杆长＝塔影长∶杆影长 可以算出金字塔的高度。事实上，这两种具体测算 的说法都存在一个共同的疑点，就是金字塔不像一根杆 子那样，它有很大的底座，由于人们无法直接到达底座 中心处，塔影的长度究竟怎样测量出来，确实是个问题。 丹齐克指出了这一点，并提出几种可能的测算办法。例 如，作两次观测，再利用相似形的关系不难算出塔高。 有兴趣的读者不妨动手试算一下。虽然对泰勒斯具体测 算的方法没能考据清楚，但是从他所证明过的几何命题 来看，泰勒斯是懂得比例知识的，可以相信他确曾测算 出金字塔的高度。 据传，泰勒斯曾用数学方法计算一条船与岸之间的 距离。所用到的知识是：两个三角形，它们的两个角及 所夹边对应相等，则这两个三角形全等。可见，今天初 中平面几何中的许多知识已被二千五百多年前的人所掌 握。泰勒斯不满足于知其然，还要深究其中道理，开始 了命题的证明。证明命题是希腊几何学的基本精神，泰 勒斯是希腊几何学的先驱者。 泰勒斯是一位有多方面才华的学者，他享有政治家、 4 数学家的故事 律师、工程师、实业家、数学家和天文学家的声誉。他 还是一位哲学家，是爱奥尼亚哲学学派的创始人，还被 称为古代七贤之首。虽然他有很大成就，当别人问他： 你对自己的发现愿拿多少报酬？他回答说：当你把它（指 他的发现）告给别人时，不说是你的发现而说是我的发 现，这就是对我的最大酬谢。 带有神秘色彩的学派 提起毕达哥拉斯的名字，人们很容易与大家熟知的 “勾股定理”联系起来，西方数学界就把这个定理叫做 “毕达哥拉斯定理”。据本世纪对于在美索不达米亚出土 的楔形文字泥板书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉 斯以前一千多年的古代巴比伦人就已经知道了这个定 理。而且在中国的《周髀算经》中记述了约在公元前一 千年时，商高对周公姬旦的回答已明确提出“勾三、股 四、弦五”。不过“勾股定理”的证明，大概还应当归功 于毕达哥拉斯。传说，他们在得到此定理时曾宰杀了一 百头牛来祭缪斯女神，以酬谢神的默示。缪斯是神话中 掌管文艺、科学的女神。 毕达哥拉斯是科学史上最重要的人物之一，他的思 想不仅影响了柏拉图，而且还一直影响到文艺复兴时期 的一些哲学家和科学家。 毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各地漫游，很可 能还去过印度。在他的游历生活中，他受到了当地文化 的影响，了解了许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与 数的知识及几何规则之间的联系。旅行结束后，返回家 5 数学家的故事 乡撤摩斯岛。由于政治的原因。他迁往位于南意大利的 希腊海港克罗托内居住。在这里他创办了一个研究哲学、 数学和自然科学的团体，后来发展成为一个有秘密仪式 和严格戒律的宗教性学派组织。 毕氏学派相信，对几何形式和数字关系的沉思能达 到精神的解脱，而音乐被看作是净化灵魂达到解脱的手 有许多关于毕达哥拉斯的神奇传说。如，他在同一 时间出现在两个不同的地方，被不同的人看到；据传说， 当他过河时，河神站起身来向他问候：“你好啊，毕达哥 拉斯”；还有人说，他的一条腿的腿肚子是金子做的。毕 达哥拉斯相信人的灵魂可以转生，有人为了嘲弄他的宗 教教义而传说，一次他看到一只狗正遭人打，他便说： 别打，我从他的声音中认出，我的朋友的灵魂附在了这 条狗身上。 要想加入毕氏团体，需要接受一段考验的时期，经 过挑选后才被允许去听坐在帘子后面的毕达哥拉斯的说 教。只有再过若干年后当他们的灵魂由于受音乐的不断 熏陶和经历贞洁的生活而变得更加纯净时，才允许见到 毕达哥拉斯本人。他们认为，经过纯化并进入和谐及数 的神秘境界，可以使灵魂趋近神圣而从轮回转生中解脱。 毕氏学派企图用数来解释一切，不仅万物都包含数， 而且认为万物都是数。他们发现，数是音乐和谐的基础。 当一根琴弦被缩短到原来长度的一半时，拔动琴弦，音 调将提高 8 度；比率为3 比2 和4 比3 时，相对应的是 高5 度和高4 度的和声。和声就是由这样一些不同的部 分组成的整体。他们认为，正是各种事物的数值比确定 了它们各是什么，并显示出彼此的关系。 6 数学家的故事 毕氏学派在哲学上与印度古代哲学有类似之处。都 把整数看作是人和物的各种性质的起因，整数不仅从量 的方面而且在质的方面支配着宇宙万物。他们对数的这 种认识和推崇，促使他们热衷于研究和揭示整数的各种 复杂性质，企望以此来左右和改善自己的命运。 他们对整数进行分类。如整数中有奇数、偶数、质 数、亲和数及完全数等等。 注意到整数48 可以被2 、3 、4 、6 、8 、12、16、24 整除，这 8 个数都是 48 的因子，这些因子的和是75 ； 奇妙的是 75 的因子有3 、5 、15、25 ，它们的和恰好是 48 。48 与75 这一对数叫做“半亲和数”。不难验算 140 与 195 也是一对半亲和数。考虑到 1 是每个整数的因子， 把除去整数本身之外的所有因子叫做这个数的“真因 子”。如果两个整数，其中每一个数的真因子的和都恰好 等于另一个数，这两个数就构成一对“亲和数”。 220 与284 是毕达哥拉斯最早提出来的一对亲和数， 也是最小的一对亲和数。因为220 的真因子是1、2 、4 、 5 、10、11、20 、22 、44 、55 、110，它们的和是 284 。 284 的真因子是 1、2 、4 、71 、142，其和恰为220 。有 人曾经把亲和数用于魔术、法术、占星学和占卦上，使 它带有迷信和神秘的色彩。如认为两个人都佩带上分别 写着这两个数的护符，就一定能保持良好的友谊，这当 然是十分滑稽可笑的。 有趣的是，后来人们总保持对亲和数研究的兴趣。 1636 年，法国数学家费马发现了第二对亲和数，它们是 17926 与 18416。两年后笛卡儿给出了第三对亲和数。瑞 士大数学家欧拉曾系统地寻找亲和数，1747 年他一下子 给出了30 对，三年后他又把亲和数增加到了 60 对。令 7 数学家的故事 人惊奇的是，除去 220 与 284 之外最小的一对亲和数 1184 与 1210 竟被这些数学大师们漏掉了。它被一个 16 岁的意大利男孩帕加尼尼在 1886 年发现。至今，已经知 道的亲和数已有一千对以上。 有趣的是人们发现了亲和链： 2115324 ，3317740 ； 3649556 ，2797612 。由于第一个数的因子之和是第 二个数，第二个数的因子之和是第三个数，……，第四 个数的因子和恰好是第一个数，它们是一个四环亲和链。 一些构成亲和链的数，只要给出其中的一个，便可以计 算出其他的数。如 12496 与其他四个数构成一个五环亲 和链。有计算器的读者不妨试算一下，补上其余四个数。 其他与占卦臆测有联系的是完全数。完全数的真因 子之和是它自己，好像自己和自己是“一对”亲和数。 最小的完全数是6 ＝1＋2 ＋3 。毕氏信徒认为，数有象征 性的含义。例如，4 是公正或报应的数，表示不偏不倚。 上帝 6 天创造世界，6 就是个完全数。整个人类是诺亚 方舟上的神灵下凡，这一创造是不完善的，因为 8 不是 完全数，它大于它的真因子和：1＋2 ＋4 。像4 、8 这样 的数叫做亏数。相反，凡小于其真因子和的整数叫做盈 最小的三个完全数是 6 ，28 ，496 。直到 1952 年人 们才知道 12 个完全数。欧几里德《原本》第九卷的最后 一个命题是，证明：如果2N －1 是一个质数，则2N －1 （2N －1）是一个完全数。由这个公式所给出的完全数 都是偶数。后来大数学家欧拉证明了每一个偶完全数必 定是这种形式的。人们自然会问，是否还有其他的完全 数？即有没有奇完全数？至今还没有人能回答这个问 8 数学家的故事 1952 年，借助 SWAC 数字计算机，又发现了五个完 全数；1957 年用瑞士的BESK 计算机发现了另一个；后 来有人用IB Ｍ7090 计算机再发现了两个。至今已知道的 完全数已有27 个。 毕氏学派是一个带有神秘色彩的宗教性组织，但是 他们对于数学的研究确实作出重大贡献。由于毕达哥拉 斯的讲授都是口头的，按照他们的习惯，对于各种发现 或发明都不属个人姓名，而是都归功于其尊敬的领导者， 所以很难辨别他们研究成果是由谁完成的。毕氏学派后 来在政治斗争中遭受失败，毕达哥拉斯逃到他林敦后， 终被杀害。他死后，他的学派的影响仍然很大，其学派 又继续了二百年之久。 趣话勾股定理 勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理， 国外称为毕达哥拉斯定理（约公元前580—500 ）。可是， 我国周朝初年（约公元前 1100 年）的数学家商高早就讲 到过“勾广三，股修四，径隅五”，这实际就是勾股定理 的一个特例。据我国史书记载，早在公元前五、六世纪， 就用过勾方加股方等于弦方的公式，不过没有给出证明。 我国对勾股定理认识的大发展是在西汉时期。这一时期 的研究既有理论又有应用，《九章算术》有详细记载。而 定理证明，三国时期（公元三世纪）赵爽所著的《勾股 圆方图注》进行了详细记述。 9 数学家的故事 赵爽在这本书中，画了一个弦图：两个全等的直角 三角形（三角形涂上朱色，它的面积叫做“朱实”）合起 来成一个矩形，四个这样的矩形合成一个正方形，中间 留出一个正方形的空格（涂上黄色，其面积叫做“中黄 实”，也叫“差实”）。 赵爽注道：“色股各自乘，并之为弦实，开方除之即 弦。”开方除之是当时开方运算的术语。上面这句话实际 上就是勾股定理：a2 ＋B2 ＝c2 。他又给出了巧妙的证明： “按弦图，又可以勾股乘朱实二，信之为朱实四。以勾 股之差自相乘中黄实。加差实亦成弦实。” 即2aB ＋（B a ）2 ＝c2 化简便得：a2 ＋B2 ＝c2 这个证明不但是勾股定理最早的严谨证明，而且也 是有史以来勾股定理证明中最巧妙的一个。 勾股定理作为几何学中一条重要定理，古往今来， 有无数人探索过它的证法。据说，它的证明方法有 500 来种。在 1940 年，一本名为《毕达哥拉斯命题》的书中， 就搜集了367 个不同的证法。其中，最令人感兴趣的证 法之一，居然是由一位美国总统作出的！ 据当代著名数学科普作家马丁·加德纳报道，1876 年4 月 1 日，波士顿出版的一本周刊《新英格兰教育杂 志》上刊出了勾股定理的一个别开生面的证法，编者注 明它是由俄亥俄州共和党议员詹姆士·A ·加菲尔德所 提供，是他和其他议员一起做数学游戏时想出来的，并 且得到了两党议员的一致同意。后来，加菲尔德当选为 美国总统。于是，他的证明也就成为人们津津乐道的一 段轶事了（据说这是美国总统对数学的唯一贡献）。 加菲尔德的证法确实十分干净利落。作直角三角形 10 数学家的故事 ABC ，设其边长分别为BA ＝c 是斜边，AC ＝B ，BC ＝a 。 作 AE ⊥BA ，并使AE ＝BA ，再延长 CA 到 D ，使AD ＝BC ＝a ，连D 、E ，则四边形CBED 是梯形，其面积等 12DC （BC ＋ED ）＝12 （a ＋B ）2 易证△DAE 与△CBA 是全等三角形，于是△DAE 、 △CBA 与△ABE 的面积之和等于12c2＋2 ·ab2 。 由于三个三角形面积之和就是梯形的面积，因而得 到等式： 12 （a ＋B ）2 ＝12c2＋aB 化简后即得：a2 ＋B2 ＝c2 于是勾股定理得到证明。 人们在研究勾股定理时还发现一个有趣现象。古巴 比伦人就知道三边为下列各数的一些三角形： 120，119，169；3456 ，3367 ，4825 ；4800 ，4601 ， 6649 ；13500，12709，18541；72 ，65 ，96 ；360 ，319 ， 481 ；2700 ，2291 ，3541 ；960 ，799 ，1249；600 ，481 ， 769 ；6480 ，4961 ，8161 ；60 ，45 ，75 ；2400 ，1697，2929 ； 240 ，161，289 ；2700 ，1771，3229 ；90 ，56 ，1060； 以上每个数组中的数，我们称为勾股数。 一般地，如果正整数Ｘ，Y ，Ｚ能满足下列不定方 程ｘ2 ＋y2 ＝ｚ2 （1）则它们叫做勾股数。 怎样求出勾股数呢？我们再观察几个简单的直角三 角形的边： 3 ，4 ，5 ；5 ，12，13；7 ，24 ，25 ；9 ，40 ，41 ；11， 60 ，61 ；……… 观察这些数，可发现如下规律： 第一个数是奇数，第二个数是第一个数的平方减 1 11 数学家的故事 再除以2 ，第三个数是第一个数的平方加1 再除以2 ，即 设ｍ为奇数，则一般有：ｍ，ｍ2 －12，m2 ＋12。于是 有ｍ2 ＋（ｍ2 －12）2 ＝（ｍ2 ＋12）2 （2 ）其中ｍ为奇 但这只是一部分勾股数。 （2 ）式两边同乘以4 ，变形，得：（2 ｍ）2 ＋（ｍ2 －1）2 ＝（ｍ2 ＋12 （3 ）显然（3 ）式不论ｍ是奇数还 是偶数，等式都成立。 只是由（3 ）式仍不能得到全部勾股数。 怎样才能得到全部勾股数呢？在公式（3 ）中，ｍ为 任意自然数，1 是一个特殊的自然数，若它也变成任意 自然数，比如变成N2 ，为了使（3 ）式保持恒等，（3 ） 中的第一项（2 ｍ）2 应变成（2 ｍN ）2 ，即有（2 ｍN ） 2 ＋（ｍ2 －N2 ）＝（ｍ2 ＋N2 ）2 （4 ）其中ｍ＞N ，（ｍ， N ）＝1 且ｍ除以N 的余数不等于2 。 可以证明（4 ）式包括了全部勾股数。 对于勾股定理的深入研究，使人们要问，ｘN ＋yN ＝ｚN （5 ）其中 N ＞2 ，N 是自然数。（5 ）式是否也有 正整数解呢？这就是到现在也仍未解决的“费马猜想。” 通过上面的介绍，同学们是否觉得勾股定理十分有 趣。确实如此，同学们通过中学数学课程的学习，一定 能够有更深的体会。 第一次数学危机 你看过数学发展史的书籍吗?如果没有看过，让我们 共同学习下面一段历史，就可以知道第一次数学危机是 12 数学家的故事 怎么回事了。 数学发展的历史表明，它的发展一直受着两方面因 素的推动：其一是社会实践及其科学技术发展的客观要 求，这就是所谓外部因素；其二是数学自身内部的矛盾 运动，这就是所谓内部因素。在整个数学发展过程中， 这两个因素相互交叉和渗透。 数的概念的发展史证实了这一点。例如：负数的产 生既是当时生产实际的需要，也是由于数学内部矛盾引 起的，在正有理数范围内，“3 －5 ”是没有意义的，为了 解决这个矛盾，就有必要引进新的数——负数。 所谓数学自身的内部矛盾，是指它的理论结构上的 矛盾，它的主要表现形式是数学猜想和数学危机。 如果问题发生在数学高峰，就是数学猜想，猜想并 不是瞎说，它是在观察和实验的基础上所作出的猜测。 例如：著名的“哥德巴赫猜想”就是典型的一例详见“数 学皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想” ；如果问题出现在 数学的基础，不能及时解决，高峰就会倾倒，这就叫做 数学危机。 历史上曾发生过三次数学危机，你知道它们是怎么 回事吗?下面简单介绍第一次数学危机的前因后果。 第一次数学危机发生在古希腊时代，那时是由于无 理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引起的。 在公元前五世纪，古希腊的数学非常发达，其中毕 达哥拉斯学派对几何学的贡献很大。由于当时受到直观 经验的局限，所以他们得到的信条是：“宇宙间的一切现 象都能归结为整数或整数比。”后来，这个学派的一个成 员叫做希伯索斯，他通过逻辑推理，发现了“等腰直角 三角形的直角边与斜边不存在最大公度线段。”从而发现 13 数学家的故事 了无理数，但由于希伯索斯违背了它们的“信条”，这个 学派的其他门徒却把他活活的投入大海之中。也许是由 于毕氏已经知道这个事实，而希伯索斯惨遭不幸是由于 泄密造成的。 那么如何通过推理证明无理数存在这个事实呢?请 看下面的证明。 求证：直角边长为 1 的等腰直角三角形，它的斜这 不能用整数比来表达。 证明：反证法 假定直角边长为 1 的等腰直角三角形ABC ，它的斜 边AB 也能用整数比来表达。 设AB ＝ｍN （ｍ、N 为既约的，即无公因数 则m,n 中必有一个是奇数， ∵12＋12＝（ｍN ）2 ，∴ｍ2 ＝2N2 ∵2N2 是偶数，∴ｍ2 是偶数， ∴ｍ是偶数，∴N 是奇数 又设ｍ＝2k ，∴（2k ）2 ＝2N2 ， ∴N2 ＝2k2 ∴N2 是偶数，∴N 是偶数。 由于推导过程相互矛盾，于是 AB ＝ｍN 不成立， 这就说明了：直角边长为 1 的直角三角形，其斜边长不 能表示成整数或整数比，从而证明了无理数是存在的。 由于无理数的发现，打破了毕达哥拉斯学派的“信 条”，因此思想上曾一度产生混乱，于是出现了第一次数 学危机。 通过这次惨痛的教训，古希腊人不得不承认：直观、 经验和实践都不是绝对可靠的，所以他们希望对过去由 经验而直接得到的几何知识都能够通过逻辑推理加以证 14 数学家的故事 明。第一个完成这项工作的是古希腊数学家欧几里得， 他在前人经验的基础上，从少数的概念的公理出发，完 成了《几何原本》这本书。在这本书里，他是运用演绎 推理的方法证明的。从而在克服危机的过程中促进了几 何学的发展。 第二次数学危机是发生在牛顿和莱布尼兹建立了微 积分理论之后，当时是由于对无穷小量的理解不深刻而 引起的。 第三次数学危机是由哲学家、数学家罗素发现了集 合论中的著名悖论：“宇宙是不存在的。”动摇了整个数 学基础而引起的。 第一次数学危机对你有什么启示?在学好正课之余， 不妨学点数学发展史，它不仅帮助你了解一些历史事实， 而且能激发你的学习兴趣，提高你的辩证思维能力。 神行太保追不上乌龟 芝诺是古希腊著名的数学思想家，生活在公元前五 世纪的意大利。据说芝诺是一个自学成才的乡村孩子， 后来成为数学家帕门尼茨的学生和朋友。芝诺最伟大的 成就是提出了当时人们无法解释的四个有名的问题（悖 论）。后来这些问题成了数学家们研究的热门话题。对推 动数学的发展起了很大作用。这四个悖论中最著名的要 算阿基里斯（希腊神话中的神行太保）和乌龟赛跑的问 假设阿基里斯和乌龟赛跑。乌龟从B 点出发向ｘ方 向爬行，阿基里斯同时从A 点出发向同一方向跑去追赶 15 数学家的故事 乌龟，当阿基里斯追到B 点时，这段时间乌龟爬行到C 点，当阿基里斯继续追到 C 点时，乌龟又爬到了 D 点。……，如此下去，乌龟总在阿基里斯前面爬行，阿 基里斯却永远追不上乌龟。这是历史上有名的难题，它 说明“动得最慢的东西不能被动得最快的东西赶上。”这 显然与人们在生活实际中看到的现象不符合，希腊人明 知道阿基里斯一定能追上乌龟，但却无法说明芝诺的悖 论错在什么地方。同学们，你们能说出这个悖论错在什 么地方吗？ 让我们具体研究一下阿基里斯能不能追上乌龟。为 简单起见，假设阿基里斯的速度是乌龟速度的 10 倍，乌 龟在前 1 公里，当阿基里斯追到 1 公里处时，乌龟前进 了110 公里；当阿基里斯又追了 110 公里时，乌龟又前 进了 1100 公里；当阿基里斯再追 1100 公里时，乌龟再 前进 11000 公里；…。这样追的结果：乌龟爬的路程是： 110＋1100＋11000＋… ＝1101－110＝19 阿基里斯跑的路程是：1＋110＋ 1100＋11000＋… ＝11－110 ＝109 （第一个等号处用的是递缩等比数列求和公 式）得 109－19＝1，故知离乌龟起跑点19 公里的地方， 阿基里斯追上了乌龟。可见芝诺的悖论是错误的。 到此，只是说明了芝诺悖论是错误的。但究竟错在 什么地方，不是一两句话能说清楚的。如果同学们有机 会学习微积分的，就很容易解答这个问题了。 和上面的类似的，芝诺还提出了另一个难题——“两 分法”：说的是运动不存在。理由是“运动中的物体在到 达目的地前，必须到达半程上的点”，即欲从甲处到乙处 16 数学家的故事 必先到达其 12 处，又必须先到达其 14 处，…等等。由 于线段是无限可分的，所以根本就不能开始运动。他不 是问什么时间或能不能达到目的地，而是提出怎样到达 的，怎样才能到达。芝诺当然清楚运动是存在的，关键 是怎样解释这个问题。实际上它的解释也有赖于微积分 学知识。 悖论或令人惊异，或令人迷惑，或令人心醉，从古 至今吸引着人们不断地对它进行探索。学习、研究悖论 具有重要意义，对一些悖论的分析，使人们更加正确的 进行思考和推理；对一此悖论的正确认识，使人们看到 了自身直觉的片面性和“虚假”性。在数学史上，由于 悖论曾直接导致了数学的三次大危机：毕达哥拉斯关于 无理数的悖论引起了第一次危机；贝克莱关于无穷小的 悖论引起了第二次危机；罗素关于集合论的悖论引起了 第三次危机。而这三个悖论的解决又直接导致了数学的 三次重大发展。学习和研究悖论曾经并将继续促进数学 的发展，而且对逻辑学、语言学和哲学也同样有重大意 下面给出二个关于生活中的悖论问题，供同学们思 1．一个理发师，自夸自己技术无人可以相比，宣称 他当然不会给自己刮脸的人刮脸，但却给所有自己不给 自己刮脸的人刮脸。请同学们思考一下，他给不给自己 刮脸呢？（这是 1918 年罗素给的一个悖论，称为“理发 师”悖论。） 2 ．一个小饭店来了一个顾客，他问店主：“腌鸭蛋 和松花蛋哪一种价钱贵？”店主答：每只都卖四角五分。 顾各说：“来两个腌鸭蛋。” 17 数学家的故事 腌鸭蛋上桌片刻，顾客说：“腌鸭蛋我没动，给我换 成两个松花蛋行不行？”店主替他换了。吃完后，顾客 起身就走，店主连忙拦住说：“请付钱！” “什么钱？” “两个松花蛋的钱。” “两个松花蛋是我拿腌鸭蛋换的。” “那就请付两个腌鸭蛋的钱。” “两个腌鸭蛋已经还给你了，还要什么钱？” 店主无言以对，顾客拂袖而去。 请同学们想想这位顾客的话合理吗？ 李世维 希伯索斯之死 布鲁诺为维护哥白尼的日心说触怒了教会，而被烧 死于十字架上；在世界科学发展的历史上，像布鲁诺一 样为真理而献出生命的不乏其人。这儿我们要说到的是 发生在数学史上的一个故事。 在公元前，希腊的数学非常发达，希腊涌现出了一 大批伟大的数学家，也产生了像伊奥尼亚学派、毕达哥 拉斯学派、智人学派、柏拉图学派等有伟大贡献的各种 学派。我们这个故事就发生在毕达哥拉斯学派内。 毕达哥拉斯学派的创始人是毕达哥拉斯。他公元前 580 年左右出生于萨摩（今希腊东部小岛），为了摆脱暴 政，移居意大利半岛南部的克罗顿，在那里组织了一个 政治、宗教、哲学、数学合一的秘密团体，后来在政治 斗争中遭到失败，毕达哥拉斯被杀害。但他的学派继续 存在了两个世纪之久。 毕达哥拉斯学派对几何学的贡献很大，最著名的是 所谓毕达哥拉斯定理，即任何直角三角形的两直角边 a 、 18 数学家的故事 B 和斜边c 都构成a2 ＋B2 ＝c2 的关系式（也就是在毕达 哥拉斯前约600 前中国数学家们所说的勾股定理），并指 出对任何一个奇数ｍ，以ｍ，（m2 －1）2 和 m2 ＋12 这 三个整数为边长，刚好可以构成直角三角形。这三元数 组被称为毕达哥拉斯三元数组。如 3 ，4 ，5 ；6 ，8 ，10 但由于受直观经验的局限，毕达哥拉斯学派认为： 一切现象都可以用有理数去描述，即“宇宙间的一切现 象都能归结为整数或整数的比”。他们断言：“任意两条 线段，总存在一最大公度线段”，并认为这个最大公度线 段可通过如下方法求得： 给出线段AB ，DC ，不妨设AB ＞DC 在较长线段AB 上用圆规从一端A 开始连续截取长 度为 DC 的线段，若最后没有剩余，则CD 就是最大公 度线段；若有剩余线段 EB （EB ＜DC ），则在 CD 上用 圆规尽量多地截取长度为 EB 的线段，若没有剩余，则 EB 就是最大公度线段；如果又有剩余线段ＦD （ＦD ＜ EB ），则又在 EB 上连续尽量多地截取长度为ＦD 的线 段；……这样下去，剩余线段越来越短，作图工具已无 法度量，因此会出现“没有剩余”的现象，也即最大公 度线段可求得。这样两条线段都可以用最大公度线段度 量，因此其长度之比为整数或整数比。 由于当时条件的限制，只用尺规是不可能发现这个 结论的错误，因而整个毕达哥拉斯学派信奉这个错误的 但毕达哥拉斯学派的一个成员希伯索斯 （HiPP ·asus ）发现，等腰直角三角形的直角边和斜边 是不存在最大公度线段的，也就是说等腰直角三角形中 19 数学家的故事 直角边边长和斜边边长之比不能表示为两个整数的比 在等腰直角三角形ABC 中，∠B ＝90 °，AB ＝BC 。 现在斜边上截取AE ＝AB ，剩余EC ；作E Ｆ⊥B Ｆ，则 有CE ＝E Ｆ＝B Ｆ，因此C Ｆ＝BC －CE 。这样求AB 和 AC 的是最大公度线段，就相当于求剩余线段CE 和C Ｆ 的最大公度线段。但△ＦEC 又构成新的等腰直角三角 形；重复上述做法会得到更小的等腰直角三角形 C Ｇ H ……，如此下去，总要出现等腰直角三角形，因此总 存在着剩余线段，也就是说等腰直角三角形的斜边与直 角边不可能有最大公度线段，因此，边长为 1 的正方形 对角线长2 不可能是有理数。 当时人们还处在刚刚从自然数脱胎出来，而形成早 期有理数概念阶段，对无理数一无所知。毕达哥拉斯学 派认为宇宙的一切现象都能归结为有理数。希伯索斯这 一发现，冲击了希腊人的普遍见解，使人们感到惊奇和 不安。有一次，希伯索斯和毕氏学派的信徒们在一条船 上游玩，当他向大家讲述他的重大发现后，信徒们不仅 不对学派的错误信条作重新的评价和改正，反而认为他 的言论违犯了至高无上的信条，并把他抛入海中，处以 “淹死”的惩罚。希伯索斯就这样为真理献出了自己的 但真理是不可战胜的。希腊人终于正视了希伯索斯 的发现。后人用反证法证明了“等腰直角三角形斜边和 直角边的比是不能用两个整数的比表示的”这一结论。 这就严格证明了2 不是有理数，从而引入了无理数。 无理数的发现打破了毕达哥拉斯的信条。经过这次教训， 希腊人不得不承认直觉，经验以至实验都不是绝对可靠 的，从而导致了以逻辑推理为基础的欧几里得几何学的 20 数学家的故事 产生。希伯索斯发现了无理数，这一事件被称为数学史 上的第一次危机。在克服这次危机的过程中，数学取得 了很大的进展。而希伯索斯也得以象追求真理的先驱一 样，以一个伟大的为真理而献身的数学家的形象流芳百 世。孔庆亮 欧几里得与《几何原本》 欧几里得是古希腊数学家，以所著《几何原本》闻 名于世，但关于他的生平事迹知道的很少，大约他活动 于公元前3 世纪，是亚历山大学派的奠基人。早年可能 受教于柏拉图，应托勒玫王的邀请在亚历山大授徒，是 一位温良敦厚的教育家。 据记载，托勒玫王曾问欧几里得：除了他的《几何 原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径！欧几里得 回答道：“几何里没有专为帝王铺设的大道。”另有一次， 一个学生刚刚学完了第一个命题，就问：学了几何学之 后将得到些什么？欧几里得随即叫人给他三个钱币，说： “他想在学习中获取实利”。足见，欧几里得治学严谨， 反对不肯刻苦钻研，投机取巧的思想作风。 公元前6 世纪，古埃及、巴比伦的几何知识传入希 腊，和希腊发达的哲学思想，特别是形式逻辑相结合， 大大推进了几何学的发展。在公元前 6 世纪到前3 世纪 期间，希腊人力图利用逻辑法则把大量的，经验型的零 散的片断的几何知识整理成一个严密的系统，待到公元 前3 世纪，基本形成了“古典几何”，使数学进入了“黄 金时代”。柏拉图就曾在其学派的大门上书写大字条幅 “不懂几何学的人莫入”。欧几里得《几何原本》正是在 这样的背景之下继承和发扬了前人研究成果之精华汇集 而成的。 2 1 数学家的故事 欧氏《几何原本》原著共 13 卷，目前中学几何的绝 大部分都是欧氏《几何原本》的内容。 勾股定理在欧氏《几何原本》中的地位是很突出的， 在西方勾股定理称作毕达哥拉斯定理，但是究其发现的 时间，在我国和古代的巴比伦、印度都有先于毕氏的记 载。我国发现这个定理至少要比毕达哥拉斯早 500 年， 所以我们叫它勾股定理或商高定理。在欧氏《几何原本》 中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为 边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明， 人们非常盛赞这种巧妙的构思，目前中学课本中还保留 这种方法。 据说，英国哲学家霍布斯一次偶然翻阅欧氏《几何 原本》，看到勾股定理的证明，十分惊讶，情不自禁地喊 道：“上帝啊，这不可能”，于是他就由后向前仔细地阅 读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终还是被证 明的严谨、清晰折服了。 欧氏《几何原本》的部分内容与早期智人学派研究 三个著名几何作图问题有关，特别是圆内接正多边形的 作图。欧氏《几何原本》只把用不带标记的直尺画直线， 用圆规画圆列为公理，限定了“尺规”作图。于是几何 作图就出现了“可能”与“不可能”的情况。在这里欧 几里得只给出了正3 、4 、5 、6 、15 边形的作法，加上连 续地二等分孤，可以扩展到正 2N 、3 （2N ）、5 （2N ）、 15 （2N ）边形。可以想像欧几里得一定还尝试过别的正 多边形的作图，只是没有作出来。所以欧氏《几何原本》 问世后，正多边形作图引起了人们的极大兴趣。 1796 年 19 岁的高斯成功地给出了正 17 边形的作 法，轰动了当时的数学界，他本人也非常兴奋，由此奠 22 数学家的故事 定了他的数学生涯，成为一代“数学家之王”。1830 年 他进一步发现：一个具有素数个边的正多边形可以用“尺 规”作出来，当且仅当其边数可以写成ｆ（N ）＝22N ＋1 形式。N 取0 、1、2 、3 、4 时，ｆ（N ）分别是3 、 5 、17、257 、65537 都是素数，证实了正 17、257 、65537 边形是可以作出来的。于是，人们开始寻求正257 、65537 边形的作法。对于其他的N 值则还要看ｆ（N ）是不是 素数。为了表征高斯的荣誉，他死后，哥廷根为他树立 的铜像的底座铸成了正17 边形。 欧氏《几何原本》中的比例论，是全书的最高成就。 在这之前，毕达哥拉斯学派也有比例论，但不适用于不 可公度的量的比，欧几里得为了摆脱这一困境，在这里 叙述了欧道克索斯的比例论。定义了两个比相等即定义 了比例，适用于一切可公度与不可公度的量，挽救了毕 氏学派的相似形等理论，十分精彩。 曾有一位捷克斯洛伐克的牧师布尔查诺，在布拉格 度假，突然生病浑身发冷，疼痛难忍。为了分散注意力 拿起了欧氏《几何原本》，当他阅读到比例论，被这种高 明的处理所震动，无比兴奋以致完全忘记了病痛。事后， 每当他的朋友生病时，他就推荐阅读欧氏《几何原本》 的比例论。 欧氏《几何原本》吸取了泰勒斯和柏拉图的演绎证 明和演绎推理，体现了亚里士多得的数学逻辑思想，成 为公理化方法建立演绎体系的最早典范，也是数学思维 训练的最好教材。但是，它还存在着逻辑上的缺陷，引 发了数学史上著名的“第五公设试证”活动，十九世纪 初因此而诞生了罗巴切夫斯基几何。随后，展开了大规 模的欧氏《几何原本》公理系统的逻辑修补工作。德国 23 数学家的故事 数学家希尔伯特，集修补之精华，在 1879 年发表了《几 何基础》，给出了欧氏几何一个完备的简洁的公理系统， 使欧氏几何达到了高度的抽象化、逻辑化、数学化、把 公理化方法推向了现代化。这也是欧氏《几何原本》对 几何学发展作出的重大贡献。 欧氏《几何原本》一出世就迅速而且彻底地取代了 它之前的一切同类著作，以至使它们就此消声灭迹。希 尔伯特就曾说过：“我们可以根据一部著作取代以前的作 品的数目来判断它的重要性。”它的流传面极广，欧几里 得的手稿早已不存在了，流传下来的只是它的传抄本， 是根据后人的修订本、注释本、翻译本重新整现出来的。 首次印刷本是 1482 年在意大利的威尼斯出版的，到 19 世纪末用阿拉伯文、拉丁文、英文、中文等文字出版了 一千多版次。从来没有哪一种科学书籍能象它那样畅销， 仅次于基督教的《圣经》。 最早的中译本是 1607 年（明代万历35 年）由意大 利传教士利玛窦和徐光启合译出版的，只译了 15 卷本的 前6 卷，是我国第一部数学翻译著作。取名为《几何原 本》，中文“几何”的名称就始于此。徐光启对欧氏《几 何原本》十分推崇，也有深刻的理解，他认为学习它可 使人“心思细密”，他说：“人具有上资而意理疏莽即上 资无用，人具有中材而心思慎密即中材有用，能通几何 之学慎密甚久，故率天下之人而归于实用者，是或其所 由之道也。”徐光启大力提倡国人学习几何。中国的封建 统治者妄自尊大，因循保守，奉行闭关锁国政策，严重 障碍了西方科学的输入。后9 卷的引入是在两个半世纪 后的 1857 年由清人李善兰和英国人伟列亚力翻译补齐 24 数学家的故事 善于思考的阿基米德 被称为有史以来贡献最大的数学家，要算阿基米德、 牛顿和高斯。这里我们要说的是阿基米德的故事。 阿基米德是古希腊伟大的数学家、力学家。他大约 在公元前287 年生于意大利西西里岛的叙拉古。他早年 在当时的文化中心亚历山大跟随欧几里德的学生学习， 以后又和亚历山大学派保持密切联系，因此他也算是亚 历山大学派的成员。有关阿基米德的故事广为流传，经 久不衰。 “给我一个立足点，我就可以移动这个地球。”这是 阿基米德的豪言壮语，是他在确立了力学的杠杆定律之 后说的。阿基米德将熟练的计算技巧和严格证明融为一 体，将抽象的理论和实际应用紧密结合起来，在力学和 数学上取得了辉煌的成就。 阿基米德善于思考。当他陷入思考中时，他会忘记 其它一切。相传在叙拉古的亥厄洛王叫金匠造一顶纯金 的皇冠，金匠完工后，亥厄洛王怀疑金匠在里面掺了银 子，克扣了金子。为了鉴定皇冠是否掺假，亥厄洛王找 到了阿基米德，让他拿出证据来证明皇冠或是掺假了， 或是金匠冤枉了。 阿基米德一时想不出办法，便时时放在心里，处处 思考解决方法。一天，他正在洗澡，当他进入浴盆时， 浴盆因盛满了水，而造成水漫溢到盆外，阿基米德得到 了启发，想到不同质量的物体，虽然重量相同，但因体 积不同，排出去的水也必定不相等，根据这一道理，可 25 数学家的故事 以把皇冠和皇冠等重量的金块放在盛满水的容器中，看 一看排出去的水是否相等，若相等，则证明皇冠没有掺 假，若不等则必有假。阿斯米德高兴的跳了起来，赤身 裸体，奔跑回家，一路上口中大呼：“尤里卡！尤里卡！” （希腊语，意思是“我找到了”）而路人皆以为他是疯子。 阿基米德将自己在浴盆中发现的这个流体静力学的 基本原理，即物体在液体中减轻的重量，等于排出液体 的重量，总结在他的名著《论浮体》中，后人冠之以《阿 基米德原理》而著称于世。 阿基米德留于后世的著作很多，其中之一是《阿基 米德方法》，它主要讲的是根据力学原理去发现问题的方 法。他把一块面积或体积看成是有重量的东西；把它们 分成许多非常小的长条或薄片，然后用已知面积或体积 去平衡这些“元素”，找到了重心和支点，所求的面积或 体积就可以用杠杆定律计算出来。他把这种方法看作是 严格证明前的一种试探性工作，得到结果以后，还要用 归谬法去证明它。他用这种方法取得了大量辉煌的成果。 阿基米德的方法已具有近代积分论的思想，具有划时代 的意义。 在阿基米德生活的晚期，正处在第二次布匿战争时 期，罗马大军兵临城下，围攻叙拉古。阿基米德献出自 己的一切聪明才智为祖国效劳。 传说他用起重机抓起敌人的船只，摔得粉碎。这是 夸张的说法，但阿基米德利用力学原理，发明了奇妙的 机器，射出大石、火球，用来打击敌人。当时叙拉古气 温较高，阳光灼热，阿基米德有感于聚光取火的原理， 集中大批镜子，造成巨大的火镜，聚光后，对准敌人船 只，反射日光，使敌人船只被大火焚毁。总之，他曾竭 26 数学家的故事 尽心力，给敌人以沉重打击，声名远振。敌方罗马的将 军曾严令士兵破城后不许伤害这位伟大的学者。 最后，叙拉古城粮食耗尽，又被奸细出卖而陷落， 这是公元前212 年的事。当罗马人攻破叙拉古时，传说 阿基米德正在沙地上专心致志地研究他的几何图形，一 个罗马士兵对他喝问，他没有听见，而惨遭杀害。 虽然敌将也极力保护这位伟人，但令人痛心的事还 是发生了，阿基米德惨死了，死时仍不忘致力于数学的 研究。为了表示“补偿”，罗马人给阿基米德造了一个很 费工的陵墓，并依照他的遗嘱，在他的墓碑上刻下了一 个装在圆柱里面的球，以记叙被阿基米德所发现和证明 的著名定理：“若一球刚好装在一圆柱内，则这个球面的 面积和体积分别等于这个柱面的表面积和体积的三分之 阿基米德一生致力于科学，取得了光辉的成就，死 后墓碑也以科学而名传于世。阿基米德的伟大一生，激 励着一代一代年青人为科学发展而奋斗、而拚搏。孔庆 古希腊的三个几何作图题 古希腊的三个几何作图题是： （1）求作一立方体使其体积是已知立方体体积的二 倍。通称倍立方问题。 （2 ）三等分任意角。 （3 ）求作一正方形使其面积等于已知圆的面积。通 称化圆为方。 提出这样的问题，一般是容易的。譬如二等分角是 我们经常要作的，自然就会想到三等分角。埃及的兰德 纸草书告诉我们，公元前 1800 年古埃及人就取圆的直径 27 数学家的故事 的89 为边作得与给定的圆面积相等的正方形。不过，这 里的π值等于（43 ）4 ＝3 ．1604……，我们虽惊赞在那 个遥远的时代就达到了如此的精确程度，但这毕竟不是 确切的答案。最早用几何方法解它们的是古希腊数学家 安纳萨格拉斯大约在公元前500 年到前400 年期间，他 的研究成果没有流传下来，但是记载着：他曾因研究天 体得出了与宗教教意不符的说法，被指控为“不敬神灵” 被捕，在监狱里他还潜心研究化圆为方问题。公元前 5 世纪，古希腊研究这三个题目的人很多，以至在希腊文 字中形成了一些专门的词汇，如“献身于化圆为方者”。 古老的事物在流传过程中，往往都伴随着一些美丽 动人的传说。爱琴海上的一个美丽的小岛第罗发生了瘟 疫，一个巫师声称他得到了神的谕示，必须将立方形的 阿波罗祭坛的体积增加一倍。一名工匠将坛的各边增加 了一倍，结果坛的体积变成了原来的8 倍，违背了神的 意志，瘟疫更加猖獗了。第罗人于是拿这个问题去请教 最有学问的柏拉图，柏拉图告诉第罗人神并不真要双倍 大的祭坛，而是指责希腊人不重视数学，特别是不尊重 几何学，后人称倍立方问题为第罗问题。 三个作图问题限于尺规作图，至今也有尺规作图之 说，为什么会是这样的呢？主要是反映了古希腊人热衷 于公理化方法，以少数的几何命题为公理，其他的命题 都要依据公理进行推导和论证。当时几何作图是证明存 在性命题的手段，能够作出来的图形自然是存在的。因 此在作图上也追求少量的基本作图，他们认定直线包括 线段是重要的，圆是最完美的平面图形，于是就规定任 何几何作图只能用作直线和作圆来完成。另外古希腊人 特别看重几何对人的思维的训练作用，对作图加以限制 28 数学家的故事 强化了作图中的思维训练。待到公元前3 世纪欧几里得 编著《几何原本》时更把尺规作图公理化，做到了理论 上的完善。 由于对几何作图实行了“尺规”限制，所以几何作 图就出现了“可能”与“不可能”的情况。直到公元17 世纪，解析几何建立以后才弄清楚“尺规”只能对于已 知长度为a 、B 的线段作出对a 、B 实施有理运算及取算 术平方根运算的得数为长度的线段，即线段a ±B 、aB 、 Ba （或aB ）及2 （或B ），超出了这五种，即为不可能。 依据这个准则 1837 年P ·L 旺策尔证明了倍立方和 三等分角的尺规作图为不可能，1882 年 C ·L ·Ｆ林德 曼证明了π的超越性，进而断定了化圆为方之不可能。 1895 年Ｆ·克莱因总结了前人的研究成果著《几何三大 问题》对这三个作图题不可能“尺规的实现作图”，给予 了简明的证法，就此结论了这三个作图问题。 这三个问题的“尺规”作图是为不可能，但是“尺 规”可以相当好的近似地三等分一角。1525 年著名蚀刻 师、画家A ·丢勒给出了如下的近似分法： 设∠AOB 为一圆O 的圆心角，c 为弦AB 的靠近B 的三等分点，过C 作AB 的垂线交圆于D ，以B 为圆心， BD 为半径作孤交AB 于E ，再取Ｆ为EC 靠近E 的三等 分点。以 B 为圆心、B Ｆ为半径作孤交圆于Ｇ，则O Ｇ 即将角AOB 近似的三等分。这样作的误差随角AOB 的 增大而增大，对于 60 °的角大约只差 1 ”，90 °的角大 约差 18 ”。 这三个几何作图显然是非常实用的。为此，人们还 创造了许多机械器具。据说阿基米德用带有标记的直尺 三等分角；还有人制造了“战斧”用来三等分角。 29 数学家的故事 每当人们提起这三个作图问题时，除了那些动人的 传说外，总要被那些出自它们的伟大的数学发现；那些 成功的转化和化归，以及那些乖巧的绘图器械所震动， 沉浸在无限的数学美的感受之中。同时，也不无犹虑地 看到，至今总有人不惜花费大量的时间和精力去设法实 现它们的尺规作图。应该说，这是对一个科学的问题采 取了一种不科学的态度，事必是徒劳的，没有人会理采 这其中付出的辛苦。法国科学院早在 1755 年就宣布拒绝 审查这类解答了。 朋友们，你们千万别把青春浪费在“用尺规作三大 作图题”了。理论已经证明：它们是“尺规不可能作出 的问题”了。 从田忌赛马谈起 田忌赛马的故事发生在公元前三世纪，有一天，齐 国的练兵场上，锣鼓齐鸣，马蹄声响，尘土飞扬，原来 很多人在围观齐国大将田忌和齐王进行一场激烈的赛马 比赛分三局进行。第一局，齐王胜了，脸上显露出 洋洋得意的样子；第二局开始，田忌赢了；第三局是关 键的一局，双方都认真的对待准备再决一雌雄，只听得 比赛的锣鼓声响，双方赛马直往前奔，不一会，田忌已 把齐王甩到后面去了。并赢得千金赌注，田忌捧着这黄 灿灿的金条，不由自主的想起孙膑。 孙膑原是战国时期的魏国人，从小苦读兵书，具有 非凡的军事才能，当时的魏国大将庞涓是孙膑的同学， 30 数学家的故事 他深知自己的才能不如孙膑就产生了妒忌的心理。他恐 怕日后孙膑会夺取他的位置，便把孙膑骗来，然后编织 罪名，加以陷害。 有一天，齐国的使者来到魏国，孙膑暗地里托人求 见齐使，诉说自己的不幸遭遇，齐使听后非常感动，便 偷偷的把他带回齐国。齐国大将田忌知道孙膑很有才华， 所以，对他很尊重，并把他视为座上宾。 田忌常和齐国的王公贵族们赛马，并且每次都是以 千金做为赌注。他们赛马时，各自把马分为上、中、下 三等。比赛时，则以上等对上等，中等对中等，下等对 下等。由于王公贵族的马总要比田忌的马强壮些，因此 多次比赛时，田忌总是以输掉千金而告终，但为了讨好 王公贵族，田忌不得不硬着头皮同他们比。有一次，田 忌同孙膑闲谈时，便把这个苦衷告诉了孙膑，请孙膑为 他出个主意，孙膑毅然答应了他的要求。 有一次比赛时，孙膑观看了比赛情况，并对双方的 马作了仔细的分析，回到家中，孙膑给田忌出了一个主 意：下次你同齐王比赛时，将你的下等马对齐王的上等 马，将你的上等马对齐王的中等马，将你的中等马对齐 王的下等马，这样准保你赢。不出所料，在第二天比赛 时，田忌按照孙膑的主意，第一局虽然输了，但第2 、3 局均取得胜利，结果田忌以2 ∶1 取胜。 从这个故事中，反映出一种数学思想方法，它就是 重要的数学分支——“博弈论”的一个萌芽。 那么“博弈论”是怎么样的一门科学呢？ “博弈论”又叫“对策论”，它是“运筹学”的一个 分支。“运筹学”是最近几十年才发展起来的一门新的数 学分支，凡是涉及到如何采取策略才能获胜的问题，都 31 数学家的故事 属于“博弈论”研究的对象。它是用数学方法，特别是 概率论，来充分估计自己和对方的情况，而决定最优策 “博弈论”是由于实际需要而产生和发展起来的。 例如。作战中，飞机怎样侦察潜水艇的活动，兵力怎样 部署，物资怎样调运；在生产中，设备和技术力量是怎 样安排调配，商品和市场需要怎样协调；在体育比赛中， 怎样根据对手的情况安排分组和采取制胜的方法等，这 些都是“对策现象”，研究这些“对策现象”就形成了一 门新的分支科学。 两千多年前，“博弈论”思想就在我国萌发，这在世 界数学发展史上是令人惊奇的，也是值得称颂的！ 韩信点兵和中国剩余定理 韩信是汉代一位军事家，在楚汉之争中为刘邦立下 了汗马功劳。有关韩信的故事很多，这里介绍的是韩信 点兵的一个故事。 韩信善于用兵，韩信点兵有他自己独特的方法。传 说有一次韩信为了考察他手下的将军，给他们出了这样 一个题目：让若干名士兵站队操练，首先让他们排成 5 行，每行人数相同，结果队尾剩了2 人；如让他们排成 7 行，每行人数相同，队尾余 6 人；如再令士兵们排成 11 行，每行人数相同，队尾则余9 人。韩信要求将军们 根据给出的数字 5 、7 、11 和剩余人数2 、6 、9 ，算一算 有多少 名士兵参加了操练？最后韩信向大家公布了答 案为97 人。 32 数学家的故事 同学们，你们知道韩信是怎样来解决这个问题的 在我国古代数学名著《孙子算经》中，有类似的题 目：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何？” 对这个问题的研究，我国古代数学家作出了很大贡 献。用今天的观点看，这是一个解同余式组的问题。 《孙子算经》中对“物不知数”问题给出了一种适 合解一般的一次同余方程组的方法，并给出了一个公式： N ＝70R1 ＋21R2 ＋15R3－105P 其中R1 、R2 、R3 分别为物被3 、5 、7 除的余数； P 为适当选取的数，使得 0 ＜N 105 ，105 为 3 、5 、7 的最小公倍数；70 为5 ×7 的一个倍数，被3 除余 1；21 为3 ×7 的一个倍数，被5 除余 1；15 为3 ×5 的一个倍 数，被 7 除余 1。选 P ＝2 ，则得N ＝23 。可以验证 23 为满足题意的最小整数解。 明代程大位的《算法统宗》里有一首歌谣： 三人同行七十稀， 五树梅花二十一， 七子团圆整半月， 除百零五便得知。 其中，三人、五树、七子分别指 3 、5 、7 这三个数。 这个口诀把式中四个关键数70 、21 、15 和 105 都总结在 同学们可以自己尝试推导出这个公式。下面看看公 式更一般的情况，即孙子剩余定理。 1247 年南宋的数学家秦九韶把《孙子算经》的方法 推广到一般的情况，得到称之为“大衍求一术”的方法， 33 数学家的故事 并在名著《数书九章》中发表。这一结论在欧洲，高斯 于 19 世纪初才给出了它的一般性定理。因此，国际上称 上述《孙子算经》中的问题为孙子剩余定理或中国剩余 定理。世界公认这个定理是中国数学家最早发现的。 用现代数学语言我们把定理表述为： 若某数ｘ分别被D1 、D2 、…、DN 除得的余数为r1 、 r2 …、rN ，则ｘ可表示为下式： ｘ＝R1r1 ＋R2r2 ＋…＋RNrN ＋RD 其中R1 是D2 、D3 、…、DN 的公倍数，而且被D1 除，余数为 1；R2 是D1 、D3 、…、DN 的公倍数；而且 被 D2 除，余数为 1；…；RN 是 D1 、D2 、…，DN －1 的公倍数，而且被DN 除，余数为 1；D 是D1 、D2 、…、 DN 的最小公倍数；R 是任意整数，可根据实际需要向 决定，且 D1 、D2 、…、DN 必须互质，以保证每个 Ri （i ＝1．2 ，…，N ）都能求得。 在此定理下，我们来解决韩信点兵问题： 设有ｘ个士兵，用 5 除之，得余数2 ；用7 除之， 得余数为6 ；用11 除之，得余数为9 。则： ｘ＝R1r1 ＋R2r2 ＋R3r3 ＋RD 。 D1 ＝5 ，D2 ＝7 ，D3 ＝9 。 其中 R1 为 7 ×11 的倍数，且被 5 除余 1，因此取 R1 ＝231 ；R2 为5 ×11 的倍数，且被7 除余 1，因此R2 取为330 ；R3 为5 ×7 的倍数，且被11 除余 1，因此R3 取为 210 ；D 为 5 、7 、11 的倍数，取为D ＝385 ，且满 足0 ＜ｘ 385 。所以 ｘ＝231 ×2 ＋330 ×6 ＋210 ×9 ＋385R 因为 0 ＜ｘ＝4332 ＋385R 385 ，得R ＝－11 求得ｘ＝97 。 34 数学家的故事 中国剩余定理在同余式组的求解中，起了很大作用。 古今中外许多数学问题，都可用剩余定理来解决。同学 们不妨研究下面的两个问题： 1．中国古代数学问题：摘自数学家杨辉《续古摘奇 算法》一书：七数剩一、八数剩一、九数剩三，问本数。 2 ．印度古题：今有一筐鸡蛋，若每次取2 个，就剩 1 个；每次取 3 个就剩 2 个；每次取4 个就剩 3 个；每 次取5 个就剩4 个；每次取6 个就剩 5 个；每次取7 个 刚好取完。问筐中鸡蛋数目是多少？ “中国剩余定理”不仅有其光辉的历史，而且直到 现代还是一个非常重要的定理。1970 年原苏联数学家尤 里解决了德国大数学家希尔伯特在 1900 年提出的二十 三个数学难题的第十题，曾轰动了整个界。他在解决这 个问题时，其中一个关键地方，用到的就是我们祖先在 一千多年前发现的中国剩余定理。孔庆亮 刘徽与《九章算术》 在初中代数里，你学过负数概念和正负数加减法的 法则。可能你还计算的相当熟练呢？但是，你可知道， 世界上是谁最早给出了负数概念和正负数的加减法法则 当你初中毕业的时候，你已经会解一元一次方程， 一元二次方程，二元一次方程组，三元一次方程组等等， 各种类型的方程问题，名目繁多。但你可知道，“方程” 这个名词究竟是怎么来的吗？是谁在世界上最早给出了 一次方程的定义和完整的解法？ 早在两千多年以前，我国古代数学家就引进了负数 概念和负数加减法法则。这在世界数学史上是领先的。 和古老的印度相比，公元七世纪印度婆罗门笈多的著作 35 数学家的故事 中才出现负数概念。欧洲大约在十七世纪才对负数有比 较正确的认识。我国古代数学家对负数的引进，有力地 扩充了数的领域，使人们对数的认识前进了重要的一步， 这是中国古代数学家的一项杰出贡献。关于方程和方程 组的解法，也是我国古代数学家最早给出的。比亚方要 早一千五百年，同样居世界领先。 除此之外，还有很多数学问题的研究成果超过西方 国家几百年，一直处于领先地位。其中我国古代数学家 刘徽注释的《九章算术》就是当时的代表性著作。刘徽 是公元三世纪人（约 225—295 ），魏晋时期一位杰出的 数学家。是我国古代数学理论的奠基人。他主要是生活 在三国时代的魏国，据查可能是山东淄川一带人。他曾 从事过度量衡考校工作，研究过天文历法，还进行过野 外测量，但他主要的工作是数学研究。他反复地学习和 研究了《九章算术》。公元263 年，也就是距今 1700 年 前的时候，他就全面系统地为《九章算术》注释了 10 卷。在刘徽的注解中，包含了许多天才的创见和补充， 这是他一生最大的功绩。 《九章算术》是我国算经十书中最重要的一部，是 我国流传最早的数学著作之一。他不是一个人的作品， 也不是在一个时代里完成的。它系统地总结了战国、秦、 汉封建制创立到巩固这一段时期内的数学成就。流传到 现在的《九章算术》是刘徽的注释本。 《九章算术》是以应用问题的形式表达出来的。一 共收入了246 个问题按数学性质分为九章： 第一章“方田章”38 个问题。主要讲田亩面积的计 第二章“粟米章”46 个问题。主要讲各种比例的算 36 数学家的故事 第三章“衰分章”20 个问题。是讨论按比例分配的 第四章“少广章”24 个问题。是讲开平方、开立方 的计算方法。 第五章“商功章”28 个问题。是讲各种形状的体积 计算方法。 第六章“均输章”8 个问题。是讲如何按人口，路 途远近等条件合理安排各地的赋税及分派工役等问题的 计算方法。 第七章“盈不足章”20 个问题。是讲算术中盈亏问 题的解法及比例问题。 第八章“方程章”18 个问题。是讲联立方程组的解 第九章“勾股章”24 个问题。是讲应用勾股定理求 解的应用问题。 刘徽为《九章算术》注释，不仅仅是对一部古老数 学专著的注解，而是把他的许多研究成果充实到了里边。 他经过多年刻苦钻研，对“九章算术”中一些不完整的 公式和定理给出了逻辑证明，对一些不明确的概念给出 了确切而又严格的定义。使一部中国古代数学遗产更充 实完整了。 刘徽对圆周率π进行了研究。他否定了古人在《九 章算术》中把圆周率π取作3 的做法。他认为：用3 表 示π的值极不精确。“周三径一”仅是圆内接六边形的周 长与圆径之比。他多年苦心钻研，创造了科学方法—— 割圆术。是以一尺为半径作圆，然后作这个圆的内接正 六边形，逐渐倍增边数，计算出正十二边形，正二十四 37 数学家的故事 边形，正四十八边形，正九十六边形直算到正一百九十 二边形的面积，求得圆周率π等于 3 ．141024，相当于 3 ．14。
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