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欢迎来到百家号“米粉老师说数学”，在特殊三角形中，等腰三角形是一类很重要的轴对称图形，而它的性质都源于轴对称，所以，从轴对称图形的角度，去学习、理解、掌握等腰三角形的性质及其运用，是一个正本清源的好的思考角度。今天我们就来说一说，由轴对称性如何演变出等腰三角形的各种性质，及其在题型中是如何应用的。
【知识梳理】
1.概念:有两条边相等的三角形是等腰三角形;这两条相等的边叫腰,另一边叫底边,两腰的夹角叫顶角,腰与底边的夹角叫底角.
2.性质:①等腰三角形是轴对称图形,对称轴是它的顶角角平分线所在的直线;
②等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）；
③等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）
3.判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）
4.等腰三角形的分类讨论
①若题目未明确角是等腰三角形的哪种角，则需分角是顶角或底角两种情形分别进行讨论论证；
②若题目未明确边是等腰三角形的哪种边，则需分边是腰或底边两种情形分别进行讨论论证；
【典型例题】
例1.如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D，△ABC的周长为36，AD=12,则△ADC的周长为________
【解析】考查等腰三角形的性质“两腰相等”及“三线合一”.
△ADC的周长=AD+AC+DC=AD+(AB+AC)/2+BC/2=AD+（AB+BC+AC）/2= =12+18=30.
例2.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点O，且BO＝CO，求证：（1）∠ABE＝∠ACD；（2）DO＝EO。
【解析】
（1）利用等边对等边的性质即可得出结论；
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC-∠OBC=∠ACB-∠OCB，∴∠ABE=∠ACD；
（2）利用三角形全等即可得出结论；
在△DOB与△EOC中，∵∠ABE=∠ACD，OB=OC，∠DOB=∠EOC，∴△DOB≌△EOC，∴OD=OE；
例3．一个等腰三角形两个内角的和为100，则它的顶角度数是_______________
【解析】两个内角是两个底角之和还是一个顶点和一个底角之和，题目没说，所以要分两种情况讨论；
①“底角+顶角=100”:根据三角形内角和,可算出另一底角为80,所以顶角为20；
②“底角+底角=100”:根据三角形内角和,可算出顶角为80.
故它的顶角度数是20或80
例4.等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是_________
【解析】这个角是顶角还是底角题目没明确，所以要分两种情况讨论；
①“顶角=80”:答案即为80；
②“底角=80”:根据三角形内角和,可算出顶角为20.
故它的顶角度数是80或20
例5.一个等腰三角形的两边长分别为5，8，则它的周长为_____
【解析】由于题目没说明5和8谁是底边谁是腰长，所以要分两种情况讨论；
①当一腰长为5，一底边长为8时，则等腰三角形的周长为5+5+8=18；
②当一腰长为8，一底边长为5时，则等腰三角形的周长为8+8+5=23.
故等腰三角形周长为18或23.
例6.一个等腰三角形的两边长分别为4，8，则它的周长为_____
【解析】4和8谁是腰谁是底边，题目未明确，所以要分两种情况讨论；
①当一腰长为4，一底边长为8时，∵4+4=8，∴不符合三角形三边关系，故不存在；
②当一腰长为8，一底边长为4时，则等腰三角形的周长为8+8+4=20.
故它的顶角度数是20或80
例7.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE=40，DE交线段AC于点E．在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【解析】由于题目未明确等腰△ADE的腰与底，故需要分类讨论，再利用等腰三角形性质及三角形内角和公式、外角定理即可求解。
∵△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C=40.
①当AD=AE时，∴∠AED=∠ADE=40，∵∠AED是∠C的外角，∴∠AED>∠C，故不存在，舍去；
②当AD=DE时，∴∠DAC=（180-40）÷2=70，∴∠BDA=∠DAE+∠C=70+40=110；
③当AE=DE时，∠DAE=40，∴∠BDA=∠DAE+∠C=40+40=80；
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，∠BDA的度数为110°或80°.
例8.阅读下列材料，解答问题：
定义：线段AD把等腰三角形ABC分成△ABD与△ACD（如图12-1），如果△ABD与△ACD均为等腰三角形，那么线段AD叫做△ABC的完美分割线。
⑴如图1，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=108，AD为△ABC的完美分割线，且BD 则∠B=_________，∠ADC=_________； ⑵如图2，已知已知△ABC中，AB=AC，∠A=36，BE为△ABC的角平分线，求证：BE为△ABC的完美分割线； ⑶如图3，已知△ABC是一等腰三角形纸片，AB=AC，AD是它的一条完美分割线，将△ABD沿直线AD折叠，点B落在点B`处，AB`交CD于点E。求证：DB`=EC。 【解析】 （1）利用等腰三角形的性质即可求解； 由题可知，△ABC、△DAB、△CAD均是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠BAD=∠B，∵∠BAC=108，∴∠B=36，∴∠BAD=36，∴∠ADC=∠B+∠BAD=36+36=72； （2）利用等角对等边判定△EAB、△BEC是等腰三角形即可； 由题可知，△ABC是等腰三角形，∠A=36，∴∠ABC=∠C=72，∵BE为△ABC的角平分线，∴∠ABE=∠CBE=36，∴∠ABE=∠A，∴BE=EA，△EAB是等腰三角形；∵∠BEC=∠A+∠ABE=36+36=72.∴∠BEC=∠C，∴BC=BE，△BEC是等腰三角形，∵△ABC、△EAB、△BEC均是等腰三角形，∴BE为△ABC的完美分割线； （3）利用等腰三角形的性质及折叠性质，可用ASA证△CAE≌△B`AD，即可得出结论。 ∵AD是它的一条完美分割线，∴△ABC、△DAB、△CAD均是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，∠ADC=∠DAC，AB=AC，由折叠性质可得：AB=AB`，∠B=∠B`，∠BAD=∠B`AD，∴∠B`=∠C，AB`=AC，∵∠ADC=2∠BAD，∴∠CAD=2∠BAD=2∠DAB`，∴∠CAE=∠B`AD，在△AEC与△ADB`中，∵∠CAE=∠B`AD，AC=AB`，∠C=∠B`，∴△CAE≌△B`AD，∴EC=DB`. 欢迎点评留言，探讨与辩论，会让数学更具魅力！请继续关注百家号“米粉老师说数学”，将为你呈上更丰盛的数学大餐，谢谢
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