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小编先问大家一个问题，0.999…=1成立吗？
看到这个等式，相信很多小伙伴都会斩钉截铁地说：错了！这两个数之间明明还相差着一个非常小的数，怎么看都是0.999…比1小啊！
也许，还会有一些小机灵鬼觉得这个等式是正确的，并给出下面这个证明：
这虽然不是严谨的数学证明，但乍一看又是那么的直观，那么的无懈可击。
这是怎么回事呢？0.999…和1难道真的相等？
其实，在标准的实数体系（翻译成人话就是：我们在学校里学的那套数学）中，0.999…和1确实是相等的，而且是严格地相等，没有一丝一毫的近似。
换句话说0.999…和1其实表示的是同一个数，没有任何一个实数能够表示二者的差异。如果把二者做差，结果一定严格地等于0，不会是任何不是0的实数。
小伙伴们是不是觉得自己的“数学观”被刷新了呢？有没有觉得自己学了一个假数学。
其实不光是你，就连17世纪的大数学家们也曾被这个问题所困扰，甚至直接引发了第二次数学危机！这又是一段怎样的故事呢，一起来看看吧。
微积分也有Bug？
回到问题的开始，觉得0.999…比1小的人通常认为，这两个数之间相差了一个非常小的，无限接近于0的数，我们姑且认为这个差距存在，并称之为无穷小量。
历史上第一个与无穷小量打交道的人是古希腊数学家阿基米德。
阿基米德曾经发明了一种求解图形面积的方法，他用一大一小两个已知面积公式的图形来无限地逼近一个未知的图形，以此来求解未知图形的面积。
用多边形逼近圆，近似求圆面积。圆的面积大小一定在一大一小两个多边形面积大小之间
他发现，如果一次次不断地逼近未知图形，把逼近的过程重复无数次，最终通过这种方法计算出的面积只会与未知图形实际的面积相差一个无穷小量。
那么这个无穷小量到底有多大呢？阿基米德并不知道，他也不需要考虑这个问题。
因为在实际操作中时间是有限的，并不可能真正地重复逼近无数次，只要结果的精确度够用就可以了。
就这样，阿基米德避开了无穷小量的问题，但他的方法不能精确地得到图形的面积，只能给出估计值。后世把阿基米德的方法称为穷竭法。
阿基米德：别问我什么是无穷小量，我也
就这样，关于无穷小量的问题成为了悬案，当它“重出江湖”被人们关注时，已是1800多年后。
17世纪，两位伟大的数学家，牛顿和莱布尼茨，几乎同时发明了一种对后世影响深远的数学工具——微积分。
然而，那时的微积分体系存在着一个严重的Bug！
牛顿：想不到吧，我其实还是一个数学家
在当时的微积分里，必不可少地需要引入一个无限接近于0的数——无穷小量。
根据莱布尼茨的表述，在具体的微积分计算中，我们有时候可以用一个数除以无穷小量，有时候可以直接把无穷小量当做0来进行处理。
莱布尼茨：我定义了无穷小量
这个操作直接让当时其他的数学家懵了，学过小学数学的人都知道，0是不能被当做除数的，任何时候都不能用一个数去除以0。
这个规则可是当时整套数学逻辑的基础，被称为数学大厦的地基。
然而，几乎与0相等的无穷小量似乎逃过了这个“不可动摇”的规矩，当时的数学体系遭到了颠覆性的挑战，这个事件在历史上被称为“第二次数学危机”。
那么，到底是微积分错了还是整个数学都有问题呢？
以达朗贝尔和拉格朗日为首的数学家意识到无穷小量可能根本不存在。
直到19世纪，以柯西、魏尔斯特拉斯为代表的数学家发现即便无穷小量不存在，微积分也能很好地被定义，这样一来既保住了微积分这个好用的方法，又保证了整个数学体系是严谨的。
于是，柯西、魏尔斯特拉斯等数学家抛弃了无穷小量的概念，用极限的思想重新定义了微积分（没错，就是大学高数课学的那套）。
就此，无穷小量被“杀死”，第二次数学危机宣告结束。今天，这套不存在无穷小量的体系被称作标准实分析体系。
以上就是函数极限的定义，是不是觉得“很绕脑子”？
这种表述方法叫epsilon-delta语言，利用它，人们能严谨地定义极限的概念，既不用引入无穷小，又能把微积分中“无穷的思想”喻于其中，十分地巧妙。
在它的基础上，导数、不定积分、定积分等微积分中一系列重要的概念也有了很好的定义。
如果有对数学感兴趣的小伙伴们想要完整、系统地了解微积分的知识，不妨自己去图书馆借一本《高等数学》来看，这里就不详细介绍了。
柯西：无穷小什么的根本没必要存在
故事讲完了，那我们最开始提出的关于0.999…和1是否相等的问题呢？没错，也解决了！
0.999…的小数点后面有无穷多个9，我们最开始假设它与1之间只相差一个“无穷小的量”，然而数学家告诉我们这个“无穷小的量”是不存在的。
这意味着0.999…和1之间不存在任何差异，你无法用任何实数表示二者之间的差异，从所有实数中你也找不到任何一个数能插在0.999…与1之间，二者是严格相等的。
无穷小量：想不到吧，我又回来啦！
自从实数的家族里没有了无穷小量，一切都变得完美，微积分有了严谨的定义，“数学大厦”不再分崩离析，0.999…=1也毋庸置疑。
故事到这里似乎也应该结束了，然而一个数学家却让无穷小量卷土重来。
上世纪60年代初，德国数学家亚伯拉罕·鲁滨逊在莱布尼茨的基础上，提出了一种非标准实分析。
他对无穷小、无穷大等相关概念做出了定义，给“实数家族”添了新成员，对实数进行了扩充，构建起了一套超实数体系，无穷小得以“重出江湖”。
鲁滨逊：没错，就是我干的
超实数体系通过引入无穷小、无穷大，扩充实数，绕开了epsilon-delta语言。
随后，数学家证明只要标准实数体系是相容的，这种超实数体系就一定也是相容的。
就这样，超实数体系出现在人们的视野中，成为了一种处理实数问题的工具。
渐渐地，非标准分析在更广泛的领域里也有了一些应用，甚至与数理经济学也有着微妙的联系。
如果你仔细回想，就会发现“数系扩充”这个操作其实并不陌生，从小到大我们都在和这种方法打交道。
一开始我们只会数1，2，3，4…这样的正整数，后来我们渐渐意识到还有分数存在，再后来我们发现数居然可以是负的，负数映入我们的眼帘。
直到中学的时候我们学到了有理数、实数，现在我们又知道了超实数。
一次次的数系扩充，除了让我们对“数”的认识一遍遍地被刷新，也能让我们解决更多具体的问题，让人们在处理难题时更加方便。
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