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在平面直角坐标系求四边形周长的最小值是初二数学的重要题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路，希望能给初二学生的数学学习带来帮助。
例题
如图，已知M(0,2)，P(7,4)，E(a,0)，F(a+1,0)，求a为何值时，四边形PMEF的周长最小，并求出最小值。
解题过程：
过点P作PA⊥y轴于点A
根据题目中的条件：M(0,2)，P(7,4)，E(a,0)，F(a+1,0)，则MO=2，PA=7，AO=4；
根据结论：AO=4，MO=2，则AM=AO-MO=2；
根据勾股定理和结论：PA⊥y轴，AM=2，PA=7，PM^2=PA^2+AM^2，则PM=√53；
根据题目中的条件：E(a,0)，F(a+1,0)，则EO=a，FO=a+1；
根据结论：EO=a，FO=a+1，则EF=FO-EO=1；
根据题目中的条件和结论：EF=1，PM=√53，四边形PMEF的周长=PM+ME+EF+PF，则四边形PMEF的周长=ME+PF+1+√53；
所以，当ME+PF取到最小值时，四边形PMEF的周长取到最小值。
在y轴的负半轴取一点B，使得BO=MO，连接BE，在线段PA上取一点C，使得PC=1，连接CE
根据中垂线性质和题目中的条件：线段中垂线上的点到这条线段两端距离相等，BO=MO，x轴⊥y轴，则ME=BE；
根据平行线的性质和题目中的条件：垂直于同一直线的两直线平行，PA⊥y轴，x轴⊥y轴，则PA∥x轴;
根据平行四边形的判定和结论：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，PA∥x轴，PC=EF=1，则四边形PCEF为平行四边形；
根据平行四边形的性质和结论：平行四边形的对边相等，四边形PCEF为平行四边形，则PF=CE；
根据结论：PF=CE，ME=BE，则PF+ME=CE+BE；
所以，当M、E、C三点在同一直线上时，CE+BE取到最小值，则PF+ME取到最小值=BC。
根据结论：PA=7，PC=1，则AC=PA-PC=6；
根据结论：AO=4，BO=MO=2，则AB=AO+BO=6；
根据勾股定理和结论：PA⊥y轴，AC=6，AB=6，BC^2=AC^2+AB^2，则BC=6√2；
根据结论：四边形PMEF的周长=ME+PF+1+√53，PF+ME的最小值=BC=6√2，则四边形PMEF的周长最小值=1+√53+6√2
根据结论：PA⊥y轴，AC=6，AB=6，则△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=45°；
根据结论：x轴⊥y轴，∠ABC=45°，则∠OEB=45°；
根据等角对等边性质和结论：∠ABC=∠OEB=45°，则OE=OB；
根据结论：OE=OB，BO=MO=2，则OE=2；
所以，点E的坐标为（2,0），即a=2时，四边形PMEF的周长取到最小值1+√53+6√2。
结语
解决本题的关键是根据题目条件判断出四边形的周长只与其中两条边长的长度有关，再利用构造轴对称图形和线段平移的方式，把这两条边长进行等量替换，替换到一个三角形的两边，根据三角形的边长关系——两边之和大于第三边，判断出三点一线时两边之和可以取到最小值，从而求得四边形周长的最小值。
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