提示：本文共有 1386 个字，阅读大概需要 3 分钟。
上次我们说到，学数学定理要懂得反问，反思，从而扩大学习范围。今天我们的目的相同，就是举一反三，但是换一个方式，是说毎学一个定理，都应该深入剖析该定理的条件和结论，看能不能通过更少的条件，得到更妙的结论，即所谓减弱条件，使得结论一般化，这就是从特殊到一般的过程。我们还是先从课本上的定理说起：垂径定理。
垂径定理的原命题是“垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧”，我们首先从它的诸多逆命题中找出一个：“过弦所对的弧的中点向弦做垂线，则该垂线也平分弦”。本来平平无奇，但是阿基米德从中看出了玄机，提出：如果条件中的弦被折成两段，即直线段AB变成折线段ACB，结果是否不变？这就是著名的“阿基米德折弦定理”：
折弦定理经常出现在各类习题集中，相信其证明不需赘述，但我们一定要细心体会其中由特殊到一般的思考过程：垂径定理本身是关于圆的轴对称性的集中体现，但是因为太特殊太对称，所以我们可能会忽略其中一些细节。而阿基米德看到了这一点，将一部分对称舍弃，同时仍保留一部分，从而得到了一个更一般的结论。可以说折弦对称比直弦对称具有更一般的意义！
阿基米德的想法给我们树立了一个榜样：对于一个简单而著名的定理，可以采用弱化条件的方式，得到新的命题，从而得到更一般性的结论。事实上，关于垂径定理还可以这么去理解：
原命题中的“垂径”是作为整个图形的对称轴存在的，我们可以倾斜直径来消除其整体对称性，从而得到一个并不对称的图：
那么这个图中的一般结论是什么呢？这里可以自然地展开联想：前一个图其实是由于过C和D分别向AB作垂线，垂足都重合为一点M，所以看起来图形很“收敛”，但是在第二个图中C和D已经偏离了对称轴的位置，过C和D分别向AB作垂线就自然分散开来，但是如果你愿意探究的话，会惊奇地发现这运动中的不变关系：AM1=BM2，也就是这个图中仍然有一个隐藏的对称轴，M1与M2仍然是轴对称关系！
00:20这真是一个很妙的结论！但仍需要一些责任心和勇气去证明它不是吗？当然证法多多，我们还是专注于如何自然地从课内过渡到课外：很明显应先联想正统垂径定理，过O作ON⊥AB于N，则N即是AB中点，接下来的任务就是说明N也是M1M2的中点即可！
如果仍不能一眼看出为何，可能是因为图中点与线太多，则可采用“消点法“将多余点线删去，得到一个简图。其实此图在学习”中位线“知识时有很大概率接触过，已经比较明显，若仍不够清爽，平移改变一下位置，你会看得更清楚！
这下大家满意了吧！这个图相关知识有很多，如梯形中位线，平行线分线段成比例，甚至中点坐标公式等，当然在中间那个位置的图也同样能证明中点的结论，可以类似梯形中位线的证明方式连接CN交DM2于E，先证三角形中位线，再证全等，终得中点。
课本上的知识是经典的，但也是基础的，其蕴含了七十二般变化。真正深入的学习犹如苦行僧人自虐，自我设置各种灵魂拷问，方能证道。希望大家在学习课本知识的同时积极深入思考，结合反问、弱化条件设问等形式，得到更多更精彩的知识宝藏，这些对于你才是无价的，因为它是你个人的创造性劳动产生的呀！
最后照理留些问题：
1、阿基米德研究了两条线段构成的折弦，那么对于三条线段首尾依次相接的折弦，或者更多折的情况，结论是否仍成立呢？
2、手拉手模型是初中阶段重要的全等（相似）模型，我们取最简单的等边三角形共线手拉手，弱化条件后哪些结论仍能成立呢？
看到此处说明本文对你还是有帮助的，关于“关于数学思维的培养（2）——从特殊到一般”留言是大家的经验之谈相信也会对你有益，推荐继续阅读下面的相关内容，与本文相关度极高！
