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在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是线段BC的中点，∠EDF=120°，DE与线段AB相交于点E．DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F．
1. 如图1，若DF⊥AC，垂足为F，AB=4，求BE的长；
图1
2. 如图2，将（1）中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F．求证：2(BE+CF)=AB；
图2
3. 如图3，将（2）中的∠EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线相交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN⊥AC于点N，若DN=FN，求证：BE+CF=√3(BE﹣CF).
图3
【分析】
1. 根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定，易得△ABC是等边三角形，所以∠B=60°，∠BED=90°，BD=2，然后运用三角函数的定义就可求出BE的值；
2. 将∠EDF绕点D旋转后，其角度值不变，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，易证△MBD≌△NCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到△EMD≌△FND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=AB；
3. 过点D作DM⊥AB于M，如图3．同（1）可得：∠B=∠ACD=60°，同（2）可得：BM=CN，DM=DN，EM=FN．由DN=FN可得DM=DN=FN=EM，从而可得BE+CF=BM+EM+CF=CN+DM+CF=NF+DM=2DM，BE﹣CF=BM+EM﹣CF=BM+NF﹣CF=BM+NC=2BM．然后在Rt△BMD中，运用三角函数就可得到DM=BM，从而得解。
【解答过程】
1. 如图1，
∵ AB=AC，∠A=60°，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ ∠B=∠C=60°，BC=AC=AB=4．
∵ 点D是线段BC的中点，
∴BD=DC=BC/2=2．
∵ DF⊥AC，即∠AFD=90°，
∴ ∠AED=360°－∠A－∠AFD－∠EDF
＝360°－60°﹣90°－120°=90°，
∴ ∠BED=180°－∠AED＝90°，
∴ BE=BD×cos∠B=2×cos60°=2×1/2=1；
2. 过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如图4，
图4
则有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°．
∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．
在△MBD和△NCD中，
∵ ∠BMD＝∠CND，∠B＝∠C，BD＝CD，
∴ △MBD≌△NCD，
∴ BM=CN，DM=DN．
在△EMD和△FND中，
∵ ∠EMD＝∠FND，DM＝DN，∠MDF＝∠NDF，
∴△EMD≌△FND，
∴ EM=FN，
∴ BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN
=2BM=2BD×cos60°=BD=BC/2=AB/2；
∴ 2(BE＋CF)＝AB.
3. 过点D作DM⊥AB于M，如图5．
图5
∵ ∠B=∠ACD=60°，BM=CN，DM=DN，EM=FN．
∵ DN=FN，
∴ DM=DN=FN=EM，
∴ BE+CF=BM+EM+CF
=CN+DM+CF
=NF+DM
=2DM，
BE﹣CF=BM+EM﹣CF
=BM+NF﹣CF
=BM+NC
=2BM．
在Rt△BMD中，DM=BM·tanB=√3BM，
∴ BE+CF=√3(BE﹣CF).
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