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在上两篇文章中,我们讨论了数列有关内容,这一篇我想和大家讨论一下函数的零点和极值问题。这个题目同样源于笔者接的一单问答中几个填空题的其中一道,感觉有点启发意义,这里和大家分享一下:
同样的,不妨先动手做一下,然后再接着往下看。这道题中包括两个未知参数a、b和一个绝对值符号,讨论起来比较复杂。但是按照题目要求,只需要找其中一个正确答案就可以了,我们很自然地想到选一个信息较多的条件。于是我们假设a=1;考虑函数 g(t) = (t-1) - 3|t-1| (t≥0),很明显直线 t =1 将 g(t) 分为 0≤t<1和t≥1 两部分,这两部分均为 t 二次函数的一段,而这两个二次函数的对称轴分别为t=-1/2 和 t=5/2;第一段函数在其对称轴的右边,所以 g(t) 在这一段( 0≤t<1)单调递增,第二段函数的对称轴(t=5/2)在这一段的中间部分,多以 g(t) 在这一段( t≥1)先减小后增大。我们计算出t=0、t=1、t=-5/2 这几个点的值然后作图如下:
由于 t=x ,所以在 x≥0 时 g(x) 极值点的纵坐标和升降趋势和 g(t) 相同,我们可根据 g(t) 的图像作出 g(x) 在x≥0 时的图像,又由于 g(x) 为偶函数,所以 x<0部分的图像也可以作出来了:
所以我们知道 a=1 时,f(x) = g(x) - b 有三个极小值点,当 -9/4
但是接下来,我们更深入探讨一下,a 的大小与 f(t) 极值点之间的关系。我们回到 g(t) ,其两段函数的对称轴分别为 t=a-3/2 和 t=a+3/2,当 a<-1/2时,两个对称轴分别在这两段函数的左边, 此时 f(t) 在 0≤t<1,和t≥1 两段都是上升的:
当 -1/2≤a<3/2时,此时第一段函数的对称轴仍然在这段函数的左边,所以这一段 f(t) 是上升的。而第二段对称轴跑到 1 的右边,所以第二段先下降后上升:
当 3/2≤a<5/2时,第一段的函数的对称轴跑到 0和1之间,第二段函数的对称轴仍然在1 的右边,所以这两段函数都是先下降后上升的:
当 5/2≤a 是,第一段函数的对称轴跑到1的右边,所以第一段函数下降,第二段函数先先下降后上升:
将 t 换成 x,根据对称性得到 g(x) 的趋势图像,而 g(x) 与 f(x) 之间只差了一个常数b ,他们的升降趋势相同:
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