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例1：已知关于x的一元二次方程x＾2＋8x－（3k＋1）＝0有实数根。
①求k的取值范围；
②如果方程的两个实数根分别为x1、x2，且x1、x2满足3x1x2＋2x1＋2x2≥8，求k的取值范围。
分析：
①该一元二次方程有实数根，则判别式b＾2－4ac≥0，即64＋4（3k＋1）≥0，
64＋12k＋4≥0，
12k≥－68，
k≥－17／3。
②由韦达定理可得：
x1＋x2＝－8，x1x2＝－（3k＋1）；
又x1、x2满足3x1x2＋2x1＋2x2≥8，
所以－3（3k＋1）＋2x（－8）≥8，
－9k－3－16≥8，
即－9k－19≥8，
－9k≥27，
k≤－3。
故k的取值范围为－17／3≤k≤－3。
例2：已知关于x的一元二次方程x＾2＋2（k－2）x＋k＾2－4＝0。
①若方程有实数根，求实数k的取值范围。
②若该方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1－x2）＾2－32＝3x1x2，求实数k的值。
分析：
①该一元二次方程有实数根，所以判别式b＾2－4ac≥0，即
4（k－2）＾2－4（k＾2一4）≥0，
4k＾2－16k＋16－4k＾2＋16≥0，
－16k＋32≥0，
所以k≤2。
②由韦达定理可得：
x1＋x2＝－2（k－2），
x1x2＝k＾2－4。
因为（x1－x2）＾2－32＝3x1x2，
所以（x1＋x2）＾2－4x1x2－32＝3x1x2，
（x1＋x2）＾2－7x1x2－32＝0，
4（k－2）＾2－7（k＾2－4）－32＝0，
4k＾2一16k＋16－7k＾2＋28－32＝0，
－3k＾2－16k＋12＝0，
即3k＾2＋16k－12＝0，
解得k1＝2／3，k2＝－6。
例3：已知关于x的一元二次方程x＾2－（5m＋4）x＋25m＾2／4＋2m＝0有两个实数根x1、x2。
①求实数m的取值范围；
②是否存在实数m，使得2x1x2－x1＾2－x2＾2≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由。
分析：
①一元二次方程有实根，则其判别式b＾2一4ac≥0，
即（5m＋4）＾2－4×25m＾2／4－8m≥0，
25m＾2＋40m＋16－25m＾2－8m≥0
即32m＋16≥0，
解得m≥－1／2。
②由韦达定理得
x1＋x2＝5m＋4，
x1x2＝25m＾2／4＋2m，
所以
2x1x2－x1＾2－x2＾2
＝2x1x2－（x1＋x2）＾2＋2x1x2
＝4x1x2一（x1＋x2）＾2
＝25m＾2＋8m－25m＾2－40m－16
＝－32m－16
令－32m－16≥0，
解得m≤－1／2，故m＝－1／2。
当m＝－1／2时，2x1x2－x1＾2－x2＾2≥0成立。
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