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正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE1，点F是DE的中点，连接AF、BF、E1F．若AE=√2．求四边形ABFE1的面积。
【分析】
因为四边形ABFE1是一个不规则的四边形，不能直接运用现在的公式计算其面积，需要将其分割成几个小部分，然后再通过图形面积的加法，最终得到四边形ABFE1的面积。
如果我们连接EB、EE1，作EM⊥AB于M，EE1交AD于N，则可得到△AEB≌△AED≌△ADE1，先求出正方形AMEN的边长，再求出AB，就可以分别求出四边形AEFE1、△AEB和△EFB的面积，再将其相加即可解决问题。
解：如图，连接EB、EE1，作EM⊥AB于M，EE1交AD于N.
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，AO=OB=OD=OC，
∠DAC=∠CAB=∠DAE1=45°，
根据对称性，△ADE≌△ADE1≌△ABE，
∴ DE=DE1，AE=AE1，
∴ AD垂直平分EE1，
∴ EN=NE1，
∵ ∠NAE=∠NEA=∠MAE=∠MEA=45°，AE=√2，
∴ AM=EM=EN=AN=1，
∵ ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，
∴ EN＝EO＝1，AO＝√2+1，
∴ AB＝√2AO＝2+√2，
∴ S△AEB＝S△AED＝S△ADE1
＝(1/2)×1×(2+√2)
＝1+√2/2，
又∵ AO＝1+√2.
∴ BD＝AC＝2AO＝2+2√2.
S△BDE＝(1/2)BD·OE＝(1/2)×1×(2+2√2)
＝1+√2.
∵ 点F是DE的中点，
∴ S△EFB＝(1/2)S△BDE＝(1+√2)/2.
∴ S△DEE1＝2S△ADE﹣S△AEE1
＝2×(1/2)·AD·NE－(1/2)·EE1·AN
＝2×(1/2)×(2+√2)×1－(1/2)×2×1
＝1+√2，
S△DFE1＝(1/2)S△DEE1＝(1+√2)/2.
∴ S四边形AEFE1＝2S△ADE﹣S△DFE1
＝(2+√2)－(1+√2)/2
＝(3+√2)/2.
∴ S四边形ABFE1＝
S四边形AEFE1＋S△AEB＋S△EFB＝
(3+√2)/2+(1+√2/2)+(1+√2)/2
＝(6+3√2)/2.
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