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二次函数背景下图形面积问题，是中考数学试卷中的常见题型，在数学学习中占有重要地位。这类问题归根结底是坐标系背景下三角形面积的计算问题。进一步又可归结为已知三个顶点坐标求三角形面积的问题。后者就是解决此类问题的关键所在。解决好这个问题就是抓住了解决此类问题的“牛鼻子”。
【预备知识】
三角形面积计算的常用策略
如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式
如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法
如图4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等
如图5，同底三角形的面积比等于高的比
如图6，同高三角形的面积比等于底的比
【典型问题】
1.（2019揭西县模拟）如图，一次函数y＝kx+b的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，二次函数y＝﹣x2+2x+8的图象经过A、B两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出当x取何值时，kx+b＞﹣x2+2x+8；
（3）点P是抛物线在第一象限上的一个动点，是否存在点P，使△ABP面积最大，若存在，求出此时点P坐标以及△ABP面积，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）先求出二次函数y＝﹣x2+2x+8与y轴、x轴交点A、B的坐标，再用待定系数法求出y＝﹣2x+8；
（2）根据图象可得当x＜0或x＞4时，kx+b＞﹣x2+2x+8；
（3）过点P作y轴的平行线PQ交AB于点Q，先利用图象上点的特征表示出P、Q两点的坐标，再求出PQ的长，进而表示出△ABP的面积，利用顶点坐标求最值．
∵﹣2＜0，∴当m＝2时，即P点坐标为（2，8）时，S△ABP取得最大值，最大值为8．
【总结反思】
一些几何图形题中蕴含着变化着的几何量。解决此类问题需要观察分析几何图形的特征，依据相关图形的性质，找出几何量之间的关系，进而建立函数关系模型，利用函数的相关性质来讨论解决问题。当题目中要求矩形的最大面积时，通常用含有自变量的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造二次函数，再利用二次函数的性质求出面积的最大值。
我们发现在解决几何中相关面积最值问题，主要是树立数形结合的思想，由计算图形面积公式来寻找两边长之间的变量关系，利用几何图形的性质分别用含 x 的代数式表示出长和宽，求出 y 关于 x 的函数，讨论解答。
在这里P是在第一象限上的一个动点这个条件，有两个方面的作用：①限制了动点P的活动范围，进而使得△PAB有最大值；②使得动点P的横坐标0＜m＜4,进而约束了面积函数关系式自变量取值范围，这一点极为忽视，在确定要研究问题函数关系式时，一定要考虑自变量的取值范围。
【规律探究】
1.S△ABP为什么会有最大值？
【规律应用】
2.（2019黔南州一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3）
（1）求出该抛物线的函数关系式及对称轴
（2）点P是抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t （0＜t＜3）．当△PCB的面积的最大值时，求点P的坐标
（3）在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求P点的坐标．
【解析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，﹣3）代入求出a即可求得抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
对称轴为直线x＝1；
（2）易求C(0,-3),B(3,0)结合上述探究出的规律，先确定出△PCB的面积的最大值时点P的坐标的横坐标为C,B两点横坐标的中点横坐标，易求 (0+3)/2=3/2,代人抛物线解析式易求得P的纵坐标为-15/4, 所以P（3/2,-15/4）
（3）设Q（1，n）），分两种情况讨论①当PQ、PC为平行四边形的对角线时，②当CQ、BP为平行四边形的对角线时．综上所述，可求得以BC为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，可求得P点的坐标（4，5），（﹣2，5）．
3. （2019岐山县二模）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．
（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（1/2，9/2），对称轴交AB于点N．
①求抛物线的解析式；
②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；
（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）①由一次函数图象上点的坐标特征求得点B的坐标，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1/2）2+9/2，把点B的坐标代入求得a的值即，可求该抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4；
②不存在点P，使四边形MNPD为菱形．设点P的坐标是（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），根据题意知PD∥MN，所以当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，根据该等量关系列出方程﹣2m2+4m＝3/2，通过解方程求得m的值，易得点N、P的坐标，然后推知PN＝MN是否成立即可；
（2）常规思路：设点D的坐标是（n，﹣2n2+2n+4），P（n，﹣2n+4）．根据S四边形BOAD＝S△BOA+S△ABD＝4+S△ABD，则当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．根据三角形的面积公式得到函数S△ABD＝﹣2（n﹣1）2+2．由二次函数的性质求得最值．当n＝1时，S△ABD取得最大值2，S四边形BOAD有最大值．此时点D的坐标是（1，4）．
没有比较就没有伤害，探究这一规律最起码可以结论功效。利用上述探究出规律，很快进入解题状态，当S△ABD取最大值时，S四边形BOAD最大．由抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4易求A(2,0),B(0,4)，易求出D点横坐标为（2+0）/2=1，代入y＝﹣2x2+2x+4易求出D点纵坐标为4，即可得D(1,4).
4.（2019海口模拟）如图，对称轴为直线x＝1的抛物线经过A（﹣1，0）、C（0，3）两点，与x轴的另一个交点为B，点D在y轴上，且OB＝3OD
（1）求该抛物线的表达式；
（2）设该抛物线上的一个动点P的横坐标为t
①当0＜t＜3时，求四边形CDBP的面积S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
②点Q在直线BC上，若以CD为边，点C、D、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
总之，对于二次函数背景下一类面积最值问题，常规思路：过点P做辅助线，然后利用相关性质，找出各元素之间的关系。设动点P的坐标，然后找出各线段的代数式，再通过面积计算公式，得出二次函数顶点式，求出三角形面积的最大值。而利用探究出规律求解，很容易求解动点坐标所处什么位置时，图形面积取得最值，从而快速确定结果。
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