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两个英年早逝的天才数学家
19世纪同样是代数学进一步发展的时代，其中两个极具代表性的数学家就是阿贝尔和伽罗华。首先从阿贝尔说起，他真的算是一个悲剧性的天才数学家。1821年，19岁的阿贝尔进入奥斯陆大学，三年后发表论文《论一般五次代数方程之不可解性》，其主要结论：如果一个次数不小于五的多项式方程，由它的系数组成的根式都不可能是该方程的根。
阿贝尔所在的挪威经济落后，没有知名的数学家。幸运的是他遇到一位好的数学老师，使得他在少年时有机会阅读欧拉、拉格朗日和高斯的著作。为进一步的学习，大学刚毕业的阿贝尔来到柏林开启了游学的旅程。到柏林后认识了一个出版家，先后在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了7篇论文，包括五次方程的不可解性的证明。可惜，当时包括高斯在内的数学家没有重视阿贝尔的论文。于是，阿贝尔又辗转去了巴黎，同样地，柯西与其他的法国数学家也未能重视阿贝尔的工作。两年后，阿贝尔回到祖国，此时的阿贝尔身患肺结核，贫困潦倒，依靠做家庭教师和朋友的资助度日。无法体会阿贝尔当时的境况和心情。1829年春，经过出版家朋友的努力，柏林大学为阿贝尔提供了教授职位，只是在聘书到达奥斯陆的两天前，阿贝尔就去世了。
阿贝尔死后不久，数学界认识到了阿贝尔的工作的重要性：阿贝尔定理奠定了代数函数的积分理论和阿贝尔方程的基础，阿贝尔方程群推进了椭圆函数的研究。而椭圆函数论是复变函数论在19世纪最光辉的成就之一。在“阿贝尔函数方程”问题中，阿贝尔引入了代数中“域”的概念。阿贝尔得到了五次及五次以上的方程不存在一般解的结论，在考虑了一些特殊能解的方程后，又面临一个问题：什么样的方程可以用根式求解？就在阿贝尔去世后的两年内，另一位英年早逝的天才人物伽罗华给出了方程可解的充分必要条件。
高斯在他的博士论文中率先证明了n次代数方程恰好有n个根(代数基本定理)。基于该定理的前提下，伽罗华的思想是将n次方程的n个根作为一个整体来考察，研究它们之间的重新排列。伽罗华构造了“伽罗华群”，并证明了只有在伽罗华群是可解群时，方程才是根式可解的。而对于伽罗华群，只在n=1、2、3、4时，才是任意可解的。显然这个结果要比阿贝尔的《论一般五次代数方程之不可解性》的结果更好一些：除包括了阿贝尔四次以上代数方程无一般解以外，还解决了阿贝尔“什么样的方程可以用根式求解？”的疑问。伽罗华的这个思路也被人沿用到微分方程的讨论中，直到现在还有人通过群的视角来探讨微分方程。
伽罗华出身相比阿贝尔要优越的多，自小就接受了良好的教育，中学时也遇到了一位好的数学老师，从此步入了美妙的数学世界。只是没多久，学校的教材已经无法满足他的求知欲了，直接阅读了拉格朗日、高斯、欧拉和柯西的著作，之后进入巴黎高等师范学院。伽罗华貌似是个热血的愤青，大学期间因为参加反对波旁王朝的运动被学校开除，之后又被抓捕判刑。释放后，因为恋情和情敌决斗而死。只是在参加决斗之前的夜晚，给后世数学家留下了遗嘱。伽罗华生前只发表了一篇短文，递交法兰西科学院的三篇论文被柯西等人忽视了，所以后世收集到的文稿只有60页。
伽罗华虽然留下的书稿不多，但他开启了近世代数的研究，不仅解决了方程可解性这个300多年的难题，更重要的是“群”的引入，推动了代数学的深刻变革。随着数学和自然科学的发展，群的理论得到了广泛的应用。自从阿贝尔和伽罗华之后，代数学家的注意力从解方程中解放出来：自从中世纪的阿拉伯数学家花拉子密给出二次方程的根，文艺复兴时期的意大利数学家解决了三次和四次方程的求解问题，200多年来数学家都致力于更高次方程根的求解问题。阿贝尔和伽罗华使得数学家的精力从解方程的问题转到数学内部的发展和革新上。
刘维尔的超越数
比伽罗华早两年出生的法国人刘维尔，又是一位数学的天才，只16岁便进入了巴黎综合理工学院学习，毕业后留校助教。刘维尔是代数数的有理逼近和超越数轮的奠基者。超越数的概念最早出现在欧拉的《无穷分析引论》中，刘维尔首先证明了超越数的存在，并通过无穷级数构造了无数个超越数，如下列几个数就是超越数：
刘维尔数：
刘维尔数
法国数学家在1873年，证明了自然常数e是超越数德国数学家林德曼于1882年，证明了圆周率π是超越数
但是我们还不确定e+π是不是超越数，甚至不知道它是不是无理数。同样地，欧拉常数
欧拉常数
是不是有理数也未确定。
最后补充一下超越数的定义，非常好理解：
如果一个复数是某个整系数多项式的根，它就是代数数，否则就是超越数。
哈密尔顿的四元数
哈密尔顿的四元数是继伽罗华的“群”之后，代数领域的又一重大发现。这是首次出现不满足乘法交换律的数系，对代数学的发展起到了革命性的作用。
1805年，哈密尔顿出生于英国的都柏林，又是一个天才。少年时候通过自学，迅速掌握了解析几何和微积分，阅读了牛顿的《自然哲学的数学原理》和拉普拉斯的《天体力学》，他还指出了《天体力学》中的一处数学错误。没上过学的哈密尔顿以第一名的成绩考入了都柏林的三一学院，大学毕业时建立了一个新学科——几何光学，毫无异议的被三一学院聘任为天文学教授，并获得“爱尔兰皇家天文学家”的称号，此时他还不足22岁。30岁时，被封爵士，两年后被任命爱尔兰皇家科学院院长。
19世纪初，高斯等数学家给出了复数的几何表示。不久，复数用于表示和研究平面上的向量；但很快又意识到一个新的问题，空间中的三维向量运算无法对应三元数组或复数的三维形式的相应运算。为解决这一问题，1837年，哈密尔顿发表文章，首次指出复数a+bi使用有序偶(a,b)表示，并为有序偶定义了加法和乘法运算法则，即
有序偶
他证明了两种运算是封闭的，满足交换律和结合律。他意图把这种有序偶推广到任意元数组中，使之具有实数和复数的基本性质。最终，他发现所要寻找的新数至少要四个分量，而且还要放弃乘法的交换律，他把这种数命名为四元数。四元数的发现开启了代数学的一扇大门，数学家可以自由地建立新的数系。1844年，德国数学家格拉斯曼给出了更一般的有序n元数组。英国数学家凯莱从线性变换中提取出矩阵的概念及运算法则，矩阵的加法满足交换律和结合律，乘法满足结合律和对加法的分配率，不满足交换律。
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