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手拉手模型说起来并不特别,就是等边三角形、等腰直角三角形、正方形(最常见的三种),也可以是任意形状,只要这两个图形是相似的形状(形状一样),存在一个共端点的情况,我们就可以利用手拉手模型了
如下图,就是手拉手模型的基础图形。
当然考试的时候,也经常会出现变式题。但不管怎么变,所有的题型都是从这几个基础图形,变式而来的。所以必须先把上图,这基础的内容弄懂,理解透彻
手拉手模型,在三角形全等、相似、等边三角形判定、等腰三角形判定、截长补短、角平分线性质、四点共圆的性质与判定等几何问题中常用。
现在我们从三角形全等的角度来学习手拉手模型。
手拉手模型到底有什么用?怎么用?
例如,在上图中,△ABC和△CDE都是等边三角形,它们形状一样,共端点C。如果仔细看图,就会发现共端点D处有4条线段BC、AC、DC、EC,我们用这四条线段两两组合,变出了新的形状完全一样的图形。也就是△BCD≌△ACE
在考试的时候,常会出现在压轴答题里,利用这个两个三角形全等,推导出一系列的结论,涉及三角形的内角和、外角等知识。手拉手模型说起来并不特别,就是等边三角形、等腰直角三角形、正方形(最常见的三种),也可以是任意形状,只要这两个图形是相似的形状(形状一样),存在一个共端点的情况,我们就可以利用手拉手模型了
需要你仔细观察图形,有些会改变下题目,比如给了个三角形后,选一条选段旋转一定角度,因为旋转必有等长线段,可以构造出等腰三角形。
手拉手模型到底有什么用?
通过手拉手模型,基本都会推导出12个基本结论。你能全部证明出来吗? 你尝试这一个一个的推导出来。(第11,12个结论是初三才学的内容,前面10个结论初二同学基本都能证明。)
如图,直线AB的同一侧作△ABD和△BCE都为等边三角形,连接AE、CD,二者交点为H。
求证以下12个结论:
(1)、△ABE≌△DBC;
(2)、AE=DC
(3)、∠DHA=60°;
(4)、△AGB≌△DFB;
(5)、△EGB≌△CFB;
(7)、连接GF,△BGF是等边三角形
(8)、GF∥AC;
(9)、连接HB,HB平分∠AHC
(10)、HC=HB+HE;HA=HC+HD
(11)、△DHG∽△ABG;△EHF∽△CBF;
(12)、A,B,H,D四点共圆;C,B,H,E四点共圆。
手拉手模型试题
1、如图,△ABC是等腰三角形、△ADE是等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE。
请从三个图中分别求证:△BAD≌△CAE。
2.如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E在BC上,且BE=BF。
求证:
(1)AE=CF;
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF度数。
第1题,手拉手模型的基础形式,这两个三角形全等,就是SAS,可以轻松证明出来。
第2题,第①小题,SAS证明△ABE≌△CBF就可以了。第②,因为三角形全等,AB=CB,所以△ABC是等腰直角三角形。结论就很简单了,自行推导。
3、如图,△ABD与△BCE都为等边三角形,连接AE与
CD,延长AE交CD于点H.求证:(头条号:方老师数学课堂)
(1)、AE=DC;
(2)、∠AHID=60°;
(3)、连接B,B平分∠AHC。
4、如图,在线段AE同侧作等边△CDE和等边△ABC,其中∠ACE<120°,点P与点M分别是线段BE和AD的中点。
求证:△CPM是等边三角形。
第3题,第4题,一样的,根据手拉手模型的一般套路,根据题意找到两个三角形全等。后面的结论,就非常简单。
总之一句话,手拉手模型的第一步,先找到手拉住手的两个三角形全等关系。然后,对应角相等,对应边相等。后面的结论,自然不难。
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