话说在很久很久很久以前，有一颗骰子。
骰子有六个面，每个面分别写着1，2，3，4，5，6.
不考虑每个面细微的差别，我们假设掷一次骰子，每面的概率都是1/6.
1.
有11个人，他们住在同一个宿舍里面。今天刚刚开完“大食会”，需要一个人去倒垃圾。
大家都很懒，没有人愿意去。于是，只好抽签。但他们手上，就只有一个上面所说的骰子。
问题：怎样用一个六面的骰子，做出一个公平的随机选择，使得11个人，每人被抽中的机会都是 1/11?
2
这是一个很好的问题，好就好在，他不需要很多的背景知识，却又有点难度。它可以用来考大学生，但小学生也能听得懂。
类似的题目，也出现过在许多私募机构招聘量化交易员的面试题当中。
我们看看怎样思考这个问题。
3
首先看看一些简单的情形。假设，题目中不是11个人，而是2个人。怎样用一个6面骰子，做出一个公平的随机选择？
答案很简单。
假设是甲乙两人。如果掷到1、2、3，就甲去。如果是4、5、6，就乙去。
如果是3个人呢？答案是类似的：假设是甲乙丙三人。如果掷到1、2，就甲；3、4，就乙；5、6，就丙。
如果是4个人呢？同样的方法不再有效。因为6是2、3的倍数，却不是4的倍数。你没有办法把6个号码，平均分配给4个人。
不过，还是有一个复杂的办法。
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四个人，假设是a,b,c,d. 如果掷到1，就a；掷到2，就b；掷到3、4，就c；掷到5、6，就d。这样c、d会觉得不公平，因为每人有两个数字。
没关系，你可以再掷一次。这回，掷到1就c，2就d；3、4就a；5、6就b. 这样就公平了。两轮过后，如果有一个人连中两次，就是他了。如果有两个人各中一次，就用刚才2个人的办法，再来一次。
是复杂一点，好歹是个解法。而且看着也挺好玩。如果这是个商业比赛，用来搞搞气氛也不错。
5
如果是5个人，就不能掷两轮，而要掷5轮了。另外会有些细节的差别。反正总是可行的。
在上面的复杂解法，我们会问一个问题：为什么4个人用这种办法，是公平的？
如果要直接计算每个人被选到的概率，是比较繁琐的。要考虑几种情形。但要证明每人都是1/4却并不难。
首先，上面的规则对于每个人都是平等的。
其次，四个人的被抽中的机会率之和，肯定是1.
结合这两个，每人就是1/4.
6
如果是功力更加深厚的人，会问更“浅”的问题：为什么一个6面骰子，每一面的概率是1/6.
答案类似：因为每一面都一样，而且加起来是1， 所以每面都是1/6.
能够问出浅问题，得到深刻领悟的，才是真正的高手。
为什么说这个道理很深刻呢？
7
因为这个道理告诉我们，要做到每人1/4，你只需要想一个办法，满足：1. 让四个人一样， 2. 总会刚好选中一个人。
从这个角度出发，我们不难想到这种解法：
掷一次，如果是1，2，3，4，就分别选a,b,c,d. 如果是5,6, 就不算，重来。
这样，每人都必然是1/4，因为大家都是平等的。
这个规则比上面的简单，虽然，它有可能需要掷多几次（如果运气不好，一直都出5、6的话）。
更大的好处是：它非常容易推广。如果不是4个人而是5个人，那我们就把1，2，3，4，5分配给这5个人。如果掷到6，就重来。
那如果是11个人呢？
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如果是11个人，就掷两次。这样一共会有6*6=36种可能性，而且每种均等。把其中33种分配给这11个人，每人3种。剩下的3种如果掷到，就重来。
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利用对称性去解决数学问题，是非常非常重要的技巧。
但本文更想指出的是：很少人会去思考，为什么一个骰子每面的概率是1/6. 因为很少人会意识到：想清楚一个简单的问题，会对我们解决复杂的问题有帮助。
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