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对于规则的图形的面积，比如我们熟悉的矩形、圆形、三角形等，我们都可以利用公式直接计算图形的面积，但是对于不规则的图形的面积如何计算呢？如何计算曲线的长度？本节将带你了解定积分在几何方面的起源和发展，学习定积分在几何方面的应用，即利用微元法思想去求解不规则图形的面积、曲线弧长及旋转体体积等。
定积分在几何问题研究上的起源和发展
早公元前3世纪，古希腊的欧几里得和阿基米德就利用穷竭法计算图形的面积。在魏晋南北朝时期，我国数学家刘徽就提出了割圆术，利用圆的内接正多边形去逼近圆的面积，从而计算出了圆的周长、面积以及圆周率（近似值）。这些内容在之前的章节已有介绍，不再重复。
17世纪求面积、体积、曲线长度的计算问题始于开普勒对酒商酒桶体积的怀疑，他发表了《测量酒桶体积的新科学》，论述了旋转体的体积的积分法。他认为球的体积是无数个小圆锥体积之和；圆锥可以看成是非常薄的圆盘体积之和（"无限多个无限小元素之和"），并计算出了它的体积，并证明了球的体积是半径R乘以球的表面积的三人之一，即 V=R×4πR×1/3。
除此之外，开普勒在探索行星运动规律时，提出了如何计算椭圆面积和椭圆弧长问题，为后来的数学家开辟了广阔的思考空间，推动了数学的发展。
开普勒（1571-1630）
卡瓦列里提出了不可分量方法，他认为面积是无数个等距平行线段构成的。线是由点构成的，就像链子由珠子串成一样，体积是由平面构成的，就像书是由页组成的一样。他把这些元素叫做点、线、面和体的“不可分量”。
卡瓦列里原理 两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比。
卡瓦列里原理与我国数学家祖暅提出的“幂势既同，则积不容异”的祖暅原理本质是相同的。卡瓦列里利用这条原理计算出来了很多立体图形的体积，包括开普勒提出的关于抛物线拱形绕弦旋转而成的旋转体体积。
费马不但在求切线、极大值和极小值等微分问题方面有突出的贡献，他在积分方面做了重要的工作，费马克服了卡瓦列里方法的缺点，几乎采用了现代积分的全过程，用小矩形面积近似小曲边图形面积，最后用相当于和式极限的方法得到正确结果，他求出了一个幂函数曲线下曲变形的面积。
费马（1601-1665）
牛顿和莱布尼茨创立了微积分之后，几何中的这些问题随之迎刃而解。本节我们主要讨论利用微元法思想求解几何中不规则图形的面积、曲线弧长的计算及旋转体体积等问题。
利用定积分计算平面图形面积
1、直角坐标系下面积的计算
（1）假设曲线 y=f(x) (x≥0)与直线 x=a, x=b及x 轴围成的曲边梯形的面积为A，则面积微元为 dA=f(x)dx.
曲边梯形的面积可表示为f(x)在区间[a,b]上的积分
注 这种情况是最简单的，有些图形是有两条或者多条曲线相交得到的，此时被积函数比上述表达式要复杂一些。
（2）下图为两条曲线围成与直线 x=a, x=b围成的图形，
围成图形的面积可表示为
注在具体问题中要根据图形中曲线间的关系选择合适的积分变量，或者对函数方程进行处理从而简化计算，下面将结合问题特点给出具体分析。
{!-- PGC_COLUMN --}例1 计算抛物线y=2x与直线y=x-4所围成图形的面积。
分析：对于这个问题，如果选择x为积分变量，需要把积分图形进行分割，计算起来比较麻烦，显然对x 进行积分显然不是最好的方法，因此不妨换个角度试试，选择y为积分变量（如方法二）。
可见方法二要比方法一要简单一些，那么如何选取合适的积分变量呢？
首先，根据题中给的条件把曲线画出来，从而能更直观的观察围成图形的形状及曲线之间的关系；然后，根据围成面积的曲线的关系选择合适的积分变量：如果是上下关系选择对x进行积分；如果是左右关系选择对y进行积分（如方法二）。2）参数方程形式
平面直角坐标系下的有些图形用参数方程来表示，如椭圆，如何利用定积分计算椭圆的面积呢？
例2求椭圆x/a+y/b=1所围成图形的面积。
解：利用对称性，有dA=ydx，所以
利用椭圆的参数方程可以简化计算，椭圆的参数方程为
用定积分的微元法可得
可以发现，当a=b=R时椭圆方程变为圆的方程，椭圆的面积为πR.
分析 椭圆方程有两种表示形式，除了题目中给出的直角坐标系下的方程，还可以用参数方程来表示，本题选用椭圆的参数方程进行计算，过程更方便、简洁。
2、极坐标系下面积的计算
假设 φ(θ)∈C[α, β]，且φ(θ)≥0，求曲线r=φ(θ)及射线θ=α, θ=β所围成的曲边扇形的面积。
曲边扇形
在区间[α，β]上任取小区间[θ,θ+dθ]则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA=1/2[φ(θ)]dθ
所求曲边扇形的面积为
分析计算极坐标系下曲边扇形的面积与直角坐标下的思想是一致的，即“以常代变”，用扇形（半径为常数）的面积近似代替曲边扇形（半径是变化的）。
例3 计算心形线 r=a(1+cosθ) (a>0) 所围成图形的面积。
心形线 是一个圆上的固定一点在它绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周滚动时所形成的轨迹，因其形状像心形而得名。
下面的动图可以直观的观察心形线是如何生成的，需要说明的是图中的心形线是圆向左侧滚动一周形成的，而题中给出的是动圆绕固定圆向右侧滚动一周，但形状是一样的。关于心形线还有一个悲情又浪漫的爱情故事，大家可以在网上自行查找，没想到数学还可以这么浪漫吧！
左心形线 r=a(1-cosθ) (a>0)
下面给出利用定积分计算心形线面积的计算过程：
例4 计算心形线 r=a(1+cosθ) (a>0) 与圆 r=a 所围成图形的面积。
分析：首先画出两条曲线的图像，可以看出两条曲线相交围成的图形可分为两部分，即图中蓝色区域和绿色区域，其中绿色区域正好是半径为a的半圆，而蓝色部分是关于x轴对称的，因此利用对称性可以给出围成区域的面积的定积分表达式。
利用定积分计算平面曲线的弧长
曲线弧长顾名思义就是曲线的长度，但是由于曲线是弯曲的，而且不同的曲线弯曲方向和弯曲程度是不同的，因此没有固定的公式计算曲线弧长。那么如何利用定积分计算曲线弧长呢？
定义：若在弧AB上任意作内接折线，当折线段的最大边长 λ→0 时，折线的长度趋近于一个确定的极限（常数），则称这个极限为曲线弧AB的弧长，即
并称此曲线弧为可求长的.
定理：任意光滑的曲线都是可求长度的。
（1）曲线曲弧由直角坐标方程 y=f(x) (a≤x≤b) 给出，弧微分可写为
曲线弧长可表示为
注由于篇幅限制，这里不再去推导直角坐标系下的弧微分公式，但其思想是“以直代曲”利用直角三角形的斜边代替对应的弧长。
除了直角坐标系曲线弧长的计算，曲线还有两种常见的形式，即参数方程形式和极坐标方程。
（2）曲线由参数方程给出
弧微分可表示为
曲线弧长可表示为
关于极坐标这里不再给出推导公式，具体可参考高等数学书。
例5两根电线杆之间的电线由于其本身的重量自然下垂，形成的曲线叫悬链线，悬链线的方程为 y=c ch(x/c) (-b≤x≤b) 求这一段弧长。
历史上第一个研究悬链线的是著名的意大利达.芬奇，他在创作《抱银貂的女人》这幅作品时，对女主人的项链自然下垂时的曲线产生兴趣。
达.芬奇名画《抱银貂的女人》
伽利略认为悬链线是开口向上的抛物线，后来伯努利兄弟（约翰.伯努利和雅各布.伯努利）利用变分法解决了悬链线问题，具体资料可自行查找，这里不再赘述。下面给出利用定积分计算悬连线的计算过程：
例6 计算摆线
一拱(0≤t≤2π) 的弧长。
摆线是一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线。如下面动图所示：
下面给出利用定积分计算一个周期内摆线的弧长：
利用定积分计算已知平行截面面积函数的立体体积
设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x)，A(x) 在[a,b]上连续，则对应于小区间[x, x+dx]的体积微元为 dV=A(x)dx. 因此，所求立方体体积为
注这个问题的关键是找到合适的截面，这些截面必须是相互平行的，并且能够利用已知条件把面积A(x)表示数来，然后就可以得到体积的微元，从而计算整个立体图形体积。
旋转体的体积是这类问题中比较常见的一种情况，这里的旋转体只考虑曲线绕着坐标轴旋转。
当考虑连续曲线段 y=f(x) (a≤x≤b) 绕 x 轴旋转一周所围成的立方体体积为
当连续曲面段 x=φ(y) (c≤x≤d) 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积有
例7计算由椭圆x/a+y/b=1所围成的图形绕 x 轴旋转而成的椭球体的体积。
分析椭圆分为长轴和短轴，本题所给图形是椭圆绕着 x 轴(a>b)旋转，形成的旋转体的形状类似橄榄球。但如果椭圆绕着短轴 y 轴旋转，形状还是橄榄球形状吗？上课过程中很多学生弄混！答案是否定的！本题只给出绕 x 轴旋转一周围成体积的计算过程。
由结果可以看出：椭圆绕着 x 旋转一周得到的椭球体的体积为4/3πab，不难猜出：如果椭圆绕 y 轴旋转一周得到的椭球体的体积为4/3πab；当a=b=R时，椭圆变为圆，无论绕着哪个轴旋转得到的都是球，球的体积为4/3πR.
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