提示：本文共有 960 个字，阅读大概需要 2 分钟。
勾股数在几何压轴题中的运用
在八年级学习勾股定理时，我们都接触到一类勾股数，即满足a+b=c的一组正整数，例如勾三股四弦五，即3，4，5，或者它的倍数，3k，4k，5k，如果有一类这样的直角三角形，那么它们的三边之比满足3：4：5，即知道其中一条边，即可求出另外两条边长。于是在几何压轴题中，如果存在这样的特殊边长的直角三角形，利用这个比例，可极大减少计算量。
题目
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20，BC=15，点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动。当点P不与点A，C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为边作平行四边形PQMN，设平行四边形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒。
(1)①AB的长为____________; ②PN的长用含t的代数式表示为_______________.
(2)当平行四边形PQMN为矩形时，求t的值；
(3)当平行四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式；
(4)当过点P且平行于BC的直线经过平行四边形PQMN一边的中点时，直接写出t的值。
解析：
(1)①典型的勾股数3k，4k，5k，由勾股定理求出AB=25；
②△APN的三边之比为3：4：5，于是AP=5t，PN=3t，AN=4t；不仅解决本小题，同时也为后续解题作好准备。不妨把这些准备工作都一并做好，PC=20-5t，CQ=5t，BQ=15-5t。
(2)解读平行四边形PQMN为矩形的意义，PN⊥AB，一旦它是矩形，则PQ⊥PN，即PQ∥AB，如下图：
因此对于△CPQ来讲，它与△ABC相似，因此它的三边之比也为3：4：5，因此在前面准备工作中找到PC和CQ，列方程为(20-5t):5t=4:3，解得t=12/7；
(3)随着点P向终点C接近，重叠部分的面积不断发生变化，可在草稿纸上多作几次图，从而直观了解有几种情况，以弥补想像力，如下图：
总共有三种变化，当点Ｍ到达AB之前，是平行四边形，点M到达AB后是梯形，点Q到达点B后，是三角形。我们需要求的，是前两种。
其实在上一小题中，我们已经知道了PQ∥AB时，t=12/7，因此第一种形状的范围是0 图中边长比为3：4：5的△BQD中，BQ=15-5t，于是分别求得DQ=12-4t，BD=9-3t，再加上AN已求，所以DN=25-(9-3t)-4t=16-t，平行四边形面积为PN×DN，S=3t(16-t)=-3t+48t (0 第二种形状的范围是12/7 图中QE和上一种情形的QD相同，QE=12-4t，而EN和上一种情形的DN相同，EN=16-t，利用梯形面积公式，S=1/2×(PN+QE)×EN，得S=1/2(3t+12-4t)(16-t)=1/2t-14t+96，(12/7 (4)利用前一小题所作的草稿图，可以尝试过点P作BC的平行线，有两种情况，经过MN中点或QM中点，不可能经过PN中点，而经过PQ中点时，P与C重合，不符合题意。 第一种情况，经过MN中点，如下图： 过MN中点E作EH⊥AB，这样构造出一个新的三边比为3：4：5的Rt△EGH，其中EH=1/2DM，而DM=12-4t-37=12-7t，因此EH=6-7t/2，同样Rt△PNG也是三边比为3：4：5的三角形，所以NG=9t/4，而NH=1/2DN=8-t/2，所以得到GH=8-t/2-9t/4=8-11t/2，现在可以列方程为(8-11t/2):(6-7t/2)=3:4，解得t=100/43； 第二种情况，经过QM中点F，如下图： 延长MQ、AB，相交于点H，这样构造出两个新的三边比为3：4：5的Rt△FGH和Rt△BQH，BQ=5t-15，于是QH=4t-12，BH=3t-9，而FQ=1/2QM=3t/2，所以FH=3t/2+4t-12=11t/2-12，同时GH=AH-AG=25+3t-9-25t/4=16-13t/4，于是列方程为(16-13t/4):(11t/2-12)=3:4，解得t=200/59。 解题反思： 一个三边比为3：4：5的直角三角形，便可打通全场，相比之下，相似和三角函数用起来就麻烦多了。这也从另外一个角度说明，基本图形的使用对于减轻解题负担有多么重要。如何快速准确地找到几何题中的基本图形，是需要平时不辍练习与思考的，很多学生做到了前者，往往忽视了后者，事实证明，不进行思考的解题，是白费时间。 看到此处说明本文对你还是有帮助的，关于“勾股数在几何压轴题中的运用”留言是大家的经验之谈相信也会对你有益，推荐继续阅读下面的相关内容，与本文相关度极高！
