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在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线,只要构造合适的全等三角形,使题目中的条件相对集中起来,能比较容易找到一些量之间的关系,再进行等量代换,就可以化难为易了.基本的辅助线的作法有:翻折法,补形法,倍长中线法,截长(补短)法,作垂线(平行线)法等,目的都是构造全等三角形.
1.在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,交AC于点E,AD⊥BE,垂足为D,求证:∠BAD=∠C+∠DAC.
【解答】解:∵BE是∠ABC的平分线,
∴∠ABE=∠CBE,
由三角形的外角性质得,∠AED=∠CBE+∠C,
∵AD⊥BE,
∴∠ABE+∠BAD=90°,
∠DAC+∠AED=∠DAC+∠CBE+∠C=90°,
∴∠BAD=∠C+∠DAC.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠ABC=45°,点D为BC的中点,CE⊥AD于点E,其延长线交AB于点F,连接DF.求证:∠ADC=∠BDF.
【解答】证明:作BG⊥CB,交CF的延长线于点G,如图所示:
∵∠CBG=90°,CF⊥AD,
∴∠CAD+∠ADC=∠BCG+∠ADC=90°,
∴∠CAD=∠BCG,
在△ACD和△CBG中,
,
∴△ACD≌△CBG(ASA),
∴CD=BG,∠CDA=∠CGB,
∵CD=BD,
∴BG=BD,
∵∠ABC=45°,
∴∠FBD=∠GBF=∠CBG,
在△BFG和△BFD中,
,
∴△BFG≌△BFD(SAS),
∴∠FGB=∠FDB,
∴∠ADC=∠BDF.
3.正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数.
【解答】解:延长EB使得BG=DF,连接AG,
在△ABG和△ADF中,
由,
可得△ABG≌△ADF(SAS),
∴∠DAF=∠BAG,AF=AG,
又∵EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,
在△AEG和△AEF中,
∴△AEG≌△AEF(SSS),
∴∠EAG=∠EAF,
∵∠DAF+∠EAF+∠BAE=90°
∴∠EAG+∠EAF=90°,
∴∠EAF=45°.
答:∠EAF的角度为45°.
4.如图,△ABC中,D为BC的中点.
(1)求证:AB+AC>2AD;
(2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围.
【解答】(1)证明:由BD=CD,再延长AD至E,使DE=AD,
∵D为BC的中点,
∴DB=CD,
在△ADC和△EDB中,
∴△ADC≌△EDB(SAS),
∴BE=AC,
在△ABE中,∵AB+BE>AE,
∴AB+AC>2AD;
(2)∵AB=5,AC=3,
∴5﹣3<2AD<5+3,
∴1<AD<4.
5.如图:在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段BE,FE,FD之间的数量关系,并说明理由.
解:(1)EF=BE+DF,理由如下:
如图①中,延长FD到点G.使DG=BE.连结AG.
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF;
故答案为 EF=BE+DF.
6.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,将直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA、OB相交于点C、D,问PC与PD相等吗?试说明理由.
【解答】解:PC与PD相等.理由如下:
过点P作PE⊥OA于点E,PF⊥OB于点F.
∵OM平分∠AOB,点P在OM上,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等)
又∵∠AOB=90°,∠PEO=∠PFO=90°,
∴四边形OEPF为矩形,
∴∠EPF=90°,
∴∠EPC+∠CPF=90°,
又∵∠CPD=90°,
∴∠CPF+∠FPD=90°,
∴∠EPC=∠FPD=90°﹣∠CPF.
在△PCE与△PDF中,
∵,
∴△PCE≌△PDF(ASA),
∴PC=PD.
7.△ABC中,∠BAC=60°,∠C=40°,AP平分∠BAC交BC于P,BQ平分∠ABC交AC于Q,求证:AB+BP=BQ+AQ.(有多种辅助线作法)
【解答】方法一、证明:延长AB到D,使BD=BP,连接PD,
则∠D=∠5.
∵AP,BQ分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=60°,∠ACB=40°,
∴∠1=∠2=30°,∠ABC=180°﹣60°﹣40°=80°,∠3=∠4=40°=∠C,
∴QB=QC,
又∠D+∠5=∠3+∠4=80°,
∴∠D=40°.
在△APD与△APC中,
∴△APD≌△APC(AAS),
∴AD=AC.
即AB+BD=AQ+QC,
∴AB+BP=BQ+AQ.
方法二、如图,
∴∠CBQ=∠ABC=×80°=40°,
∴∠CBQ=∠ACB,
∴BQ=CQ,
∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①,
过点P作PD∥BQ交CQ于点D,
则∠CPD=∠CBQ=40°,
∴∠CPD=∠ACB=40°,
∴PD=CD,∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°,
∵∠ABC=80°,
∴∠ABC=∠ADP,
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=∠CAP,
∵在△ABP与△ADP中,
,
∴△ABP≌△ADP(AAS),
∴AB=AD,BP=PD,
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②,
由①②可得,BQ+AQ=AB+BP.
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