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如图,△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点D是AB的中点,点P是AB上的一个动点(点P与点A、B不重合),矩形PECF的顶点E,F分别在BC,AC上.
(1)探究DE与DF的关系,并给出证明;
(2)当点P满足什么条件时,线段EF的长最短?(直接给出结论,不必说明理由)
考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;矩形的性质.
分析: (1)连接CD,首先根据△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点D是AB的中点得到CD=AD,CD⊥AD,然后根据四边形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形,从而得到△DCE≌△DAF,证得DE=DF,DE⊥DF;
(2)根据DE=DF,DE⊥DF,得到EF=DE=DF,从而得到当DE和DF同时最短时,EF最短得到此时点P与点D重合线段EF最短.
解答: 解:(1)DE=DF,DE⊥DF,
证明:连接CD,
∵△ABC是等腰直角三角形,∠C=90°,点D是AB的中点,
∴CD=AD,CD⊥AD,
∵四边形PECF是矩形,
∴CE=FP,FP∥CB,
∴△APE是等腰直角三角形,
∴AF=PF=EC,
∴∠DCE=∠A=45°,
∴△DCE≌△DAF,
∴DE=DF,∠ADF=∠CDE,
∵∠CDA=90°,
∴∠EDF=90°,
∴DE=DF,DE⊥DF;
(2)∵DE=DF,DE⊥DF,
∴EF=DE=DF,
∴当DE和DF同时最短时,EF最短,
∴当DF⊥AC,DE⊥AB时,二者最短,
∴此时点P与点D重合,
∴点P与点D重合时,线段EF最短.
点评: 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形及矩形的性质,解题的关键是能够证得两个三角形全等,难度不大.
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