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在世界数学史上，对级数（数列）的讨论具有悠久的历史。中国、巴比伦、古希腊、埃及和印度等，都曾经研究过级数。
在古老的《易经》一书中写道：“易有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，实际上，这种分割，已经寓有数学中等比数列的思想。
《周髀算经》里就谈到“七衡”（日月运行的圆周），七衡的直径和周长都是等差数列。谈及等差数列的求和，也许想到的第一个例子就是高斯(Gauss)著名的求和
流行的说法是，聪明的高斯用倒序相加（利用对称性）的办法得出了和数，并且从中可以得到一般公式
可以想见，(1)很早就被人得到了，例如它出现在1世纪出版的中国古典数学名著《九章算术》中，见第三章衰分和第六章均输。
例如，《九章算术》中有这样一个问题：“今有女子善织，今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”题意为，女子每天织布的尺数是前一天的两倍，五天共织布五尺，问每天各织多少尺？
公元五世纪，我国的《张丘建算经》中，记载了求公差、求总和、求项数的公式等等。例如书中记载有 “今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？书中的解法是：并初、末日织布数，半之，余以乘织讫日数，即得。”这相当于给出了等差数列的求和公式。
我国古代数学家对等差数列的研究逐步深入，发展成了对高阶等差数列的研究，并取得了很大的成就。
北宋沈括（1031～1059）的《梦溪笔谈》，南宋杨辉的《详解九章算法》(1261年)，都记录了他们对高阶等差数列的研究。元代王恂（1235～1281年）、郭守敬（1231～1316年）等编写的《授时历》(1280年)，利用高阶等差数列方面的知识解决天文计算中的高次招插问题，取得了辉煌的成果。
元代朱世杰在《四元玉鉴》（公元1303年）中，把宋、元数学家在高阶等差数列求和方面的工作更前进了一步，得出了一系列高阶等差数列的求和公式，并创造了一种具有普遍意义的方法——“垛积招差术”。
例如北宋博学家沈括在《梦溪笔谈》第18卷第301条中首次提出了一个二阶等差数列的求和公式（沈括是用文字叙述，这里改用字母）：
其中
代表的是求和的长度（项数）。
注意，(6)包含(2)作为特殊情况（取a=b=0,c=d=n）；而另一个值得注意的
特殊情形，是令a=0,b=1,c=n,d=n+1，此时我们得到
它等价于
这个特例曾由南宋的杨辉在其1261年出版的著作《详解九章算法》中特别指出。
接下来的重要一步由元代的朱世杰迈出，他注意到一个一般的p阶等差数列的求和公式（他在1303年出版的《四元玉鉴》中虽然只写出了p=2,3,4,5,6的情况，但根据他对这一方法的说明，可以判断他掌握了一般的情况），鉴于其重要性，我们把它写成一个定理：
定理2（朱世杰恒等式）：(i)设整数p,n非负，则有
(ii)设整数n≥p≥0，则有
历史注记：朱世杰真正得到的是(8)式，但在组合学中提到朱世杰恒等式通常是指(9)。不难验证，(8)与(9)等价，可见高德纳等【9】。我们不打算重复这个结果的经典证明，仅满足于指出，证明(8)的一个关键引理如下：
引理1（杨辉恒等式）：设n，p是正整数，且p≤n，则有
杨辉恒等式与朱世杰恒等式在组合学中占有重要地位。毫不奇怪，这些结果后来也被研究过"帕斯卡三角"（华罗庚称之为"杨辉三角"，同样的，我们这里的"杨辉恒等式"的提法也是沿袭华罗庚先生，见【11】）的帕斯卡（Pascal，法国数学家）重新发现。
不过，朱世杰得到这个恒等式，是沿沈括堆垛的思路（所谓"垛积术"）而来。
在国外，对数列的记载最早可以追溯到公元前约2000年。古巴比伦人在烧制的泥板上记载了一些数学知识，其中有他们经过观察而制定的一个月亮周相表，用现代符号表示为：5，10，20，40，20，36，52，可以看出前者是一个等比数列，后者是一个等差数列。他们在具体问题里算出了等比数列之和，其中就有1+2+4+……+2^9=2^9+（2^9 -1）=2^10 -1.
公元前1650年左右的埃及著作《莱因德纸草书》中，记有这样一个问题：今有七个人，每人有七只猫，每只猫吃了七只老鼠，每只老鼠吃了七棵麦穗，每棵麦穗又可以长出七升麦粒。问麦粒升数总数是多少？这是一个公比为7的等比数列求通项问题，答案为16807升。
公元前三世纪，欧几里得在《几何原本》第八卷中，讨论了等比数列，并应用等比数列故事发现了完全数的一个性质。
各个小于它的约数（真约数,列出某数的约数，去掉该数本身，剩下的就是它的真约数）的和等于它本身的自然数叫做完全数（Perfect number）。例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数。毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身。”古希腊毕达哥拉斯学派研究三角形数，已经知道1+2+3+……+n=n(n+1)/2.
古希腊数学家欧几里得在名著《几何原本》中证明了素数有无穷多个，并论述完全数时提出：如果p=1+2+2^2+…+2^n是素数，则2^np是完全数。理由是1,2，…，2^n，p,2p，…，2^(n-1) p能整除2^np，2^n p，此外没有其余因数，于是1+2+…+2^n+p+2p+…+2^(n-1) p=p+p+2p+…+2^(n-1) p= 2^n p。
当n=1，p=1+2=3是素数，则2^n p=2^1×3=6是完全数。
当n=2，p=1+2+4=7是素数，则2^n p=2^2×7=28是完全数。
当n=3，p=1+2+4+8=15不是素数，则2^n p=2^3×15=120不是完全数。
据说，印度舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我一粒麦子，在第2个小格里赏给2粒，第3小格里赏给4粒，以后每小格都比前一小格加一倍。请您把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个要求太容易满足了，就命令人们给他这些麦粒。当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了哪位宰相的要求。千百年后的今天，我们都知道事情的结局：国王无法实现自己的承诺，这是一个长达20位的天文数字（18446744037709551618颗麦粒）!这么多麦粒相当于当时全世界两千年的小麦产量。
参考文献：
林开亮，微积分之前奏1：高阶等差数列的求和
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