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添加辅助线构造全等三角形的一般思路
张越初中数学
初二数学辅导（20180728B）
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添加辅助线构造全等三角形的一般思路
例1
如图，四边形ABCD中，AB
等于AD，CB等于CD，求证:角B等于角D．
这很容易，连接AC，依据“边边边”证明所构成的两个三角形全等，进而证得角B等于角D．
为什么要连接AC呢？这个问题很重要．
从“求证”入手，如果能够证明所得到的两个三角形全等，就能够证明角B等于角D，即我们需要构造三角形全等．
从“已知”入手，题目已经给出两条边对应相等，加上公共边相等，满足证明三角形全等的条件，即我们能够证明这两个三角形全等．
这有点像买“宝马”，我们不能不考虑以下两个问题：
（1） 需要买它吗？
（2） 能够买它吗？
例2
如图，已知AB等于DC，AC与BD交于点O，若AC等于BD，求证角A等于角D．
题目够简单了，但仔细一想，却有点难．
图中两个三角形肯定全等，但是直接条件不够，能否把AC等于BD转化为OB等于OC或OA等于OD呢？答案是不可能．
现在只好考虑添加辅助线了．
请注意，构造出来的两个三角形必须是能够证明全等的，而且是能够得出角A等于角D的!
给你一点时间，你一定能想出来，不要舍不得花时间思考！
例3
如图，三角形ABC中，角A等于2角B，AB等于2AC，求角C的度数．
这道题看起来很容易，甚至你很快就能够猜到答案——角C等于90度．
从已知条件入手进行分析，我们可以这样构造全等三角形来解题：
如答图，作三角形ABC的角平分线AD，过点D作DE⊥AB，E为垂足．
因为角BAC等于2角B，
所以角CAD等于角BAD等于二分之一角BAC等于角B．
所以DA等于DB．
所以AE等于EB等于二分之一AB等于AC．
（请注意等腰三角形的性质是怎么证明的）
在三角形DAC与三角形DAE中，
因为角CAD等于角EAD，
AE等于AC，
AD等于AD，
所以三角形DAC全等于三角形DAE（SAS）．
所以角C等于角AED等于90度．
下面我们一起探究为什么这样添辅助线．
根据已知条件角A等于2角B，作角平分线是比较容易想到的，但是这显然不够，因为得到的两个三角形不全等，而且另一个条件AB等于2AC没有用上，所以还要作垂线段DE，然后利用AE等于AC证明三角形DAC全等于三角形DAE．
如果从“求证”入手，你会如何思考？
例4
这是一道经典题．
如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，若角EDF等于45度，求证：EF等于AE加FC．
这道题可以这样添辅助线：
如答图，延长BC到点G，使得CG等于AE，连接DG．
为什么要延长BC到点G，使CG等于AE?
很明显，这样做是被“求证”逼出来的，如果能够证明FE等于FG，就能证明FE等于AE＋CF．
那为什么要连接DG呢？
下面的证明过程就留给大家了，包括回答上面的问题．
总结
怎样添辅助线构造全等三角形？
一般可以从“已知”入手，也可以从“求证”入手，有时还要从两个方面同时入手，这就是一般的思路．
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