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解题思路1“降低次方和次元”
所谓次方,就是例子当中x上面的n:
x n
同理,x 3 就是3次方x 4 就是4次方。
降低次方的目的之一,就是让运算变得更轻松。
比如说,我们将(a+b) n 进行展开:
可以看出,随着次方的升高,整个运算就变得更加复杂。反过来,如果能够降低次方,那么复杂的问题一下子就变得简单了。到底在怎样的情况下能够降低次方呢?我们拿“1开3次方”来举例子。
1开3次方
所谓1开3次方,指的是某数的3次方等于1,也就是:
x 3 =1……①
当然了,x=1是1开3次方的解之一。但并非唯一的解。在接着往下说之前,我们先来复习一下因数分解的公式。
【因数分解的公式】
a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 )
让我们来确认一下这个公式,等号右边是不是真的等于左边。
我们对算式①进行移项,将等号右边的1移到左边来,得出:
x 3 -1=0
然后我们按照上面因数分解的公式进行变形,得出:
也就是:
(关于AB=0这个话题,我们等到后面“解题思路5”这个章节再来详细讨论。)
x-1=0的解,就是x=1。而x 2 +x+1=0,很遗憾,这里不能再因数分解了,于是我们只好用2次公式来求解。
【2次公式】
当ax 2 +bx+c=0的时候:
由于x 2 +x+1=0,那么:
虽然
面是个负数,但是请大家不必惊讶。我们还准备了虚数单位i来应对这种情况。所谓虚数单位i,就是当某数的2次方为负数(我们将它称为虚数)的时候,所给出的定义。
【虚数单位i】
i 2 =-1
在这里,我们代入虚数i,使得
=
=
,那么先前的2次方程式的解为:
感谢大家的配合,能够一直耐心的读到这个地方。现在我们搞明白了一点,1开3次方之后,得出的解除了等于1之外,还有一个非常复杂的数字。那么,对于这个复杂的数字
,我们是不是还要再求出它的2次方,甚至是5次方?
我可不想面对那么麻烦的运算。于是,我们就想办法降低次方。
那我们假设:
(ω是希腊字母,读作“欧米茄”,而不是英文中的w),假设ω是上述2次方程式x 2 +x+1=0的解,那么,我们将ω代入方程式,就可以得出:
ω 2 +ω+1=0
然后再将它进行如下变形:
ω 2 =-ω-1
另外,由于ω就是一开始的x 3 =1的解,那么,我们将ω代入到x 3 =1当中,就可以得出:
ω 3 =1
我们再把这两个方程式放在一起,得出,
接下来就是关键部分了!
在☆号联立方程式中,上面一个方程式,等号左边为2次方,右边为1次方;下面一个方程式,等号左边为3次方,右边为0次方(常数项)。
也就是说,我们降低了☆号联立方程式的次方!比方说,我们来算一下ω的4次方。就能够用到☆号联立方程式:
这样一来,运算变得相当简单。那么,ω的11次方又是多少呢?也可以运用☆号联立方程式,将它变成1次方程式:
按照这个模式,我们再来算一下ω的30次方又是多少呢?同样是运用☆号联立方程式,降低它的次方:
像这样,运用☆号联立方程式来对ω进行运算,那么不管遇到怎么样的情况,我们都可以降低它的次方,使它变成1次方程式或者常数项。
最难得的是,我们可以把之前的复杂数字代入到ω当中,进行进一步的运算。根据前面所算出的结果,我们可以得出:
我们可以看得出,等号左边非常复杂,但是等号右边的计算,就变得十分轻松。这就是降低次方的乐趣所在。
除了在1开3次方(ω)当中我们运用到了降低次方的思路以外。“陪集定理”“三角函数的半角公式”,还有“哈密尔顿定理”,也都运用到了这种思路。
在几何图形当中,同样可以降低“次元”
前面我们说到了次方,现在我们要说另外一个“次”,那就是“次元”。在几何图形,特别是立体图形当中要降低次元,这一点非常重要。,让我们来看一下如下图形:
这是一个长方体。我们把这种图称之为草图。
实际上,当我们看到这个图形,就能够辨认出它是一个“长方体”,这完全是教育的功劳。换一种说法,我们实际上已经被教育“洗脑”了。如果你把这个图形给那些没受过算术、数学教育的人来看,他们就不会认为这是一个长方体。为什么呢?因为长方体的每一个角都应该是直角,而这张图上面,没有哪一个角是直角。当我们把3次元(空间)的物体落在2次元(平面)上的时候,图形自然就会发生扭曲。
所以,当我们遇到立体几何问题的时候,如果按照这样的草图来思考,就容易产生错觉。本来应该是相同长度的两条边,就会显得不一样长;本来应该是直角,看上去就不是直角。那么,应该怎么办呢?
让我们来考虑一下能不能降低它的次元。 把3次元变成2次元,也就是说,找出空间图形当中关键部分,然后把它画在平面图上。这样的平面图看上去没有不实的地方,我们可以根据它来思考问题。也就是说,降低图形的次元,会让问题变得容易许多。
我们来看一个例题。
解这道题,最重要的就是从图形当中把四边形MHFN给提取出来,画成平面图。这时候,你是否能够看出MH和NF的长度是相等的?
如果仅仅是看这张草图的话,也许有人会产生错觉,误以为MH和NF的长度是不等的。但是,如果画出正方形DHGC和正方形BFGC的平面图,我们就能看出M和N分别为CD和BC两条边上的中点。如此一来,MH=NF就一目了然了。
由此我们可以画出MHFN的平面图,因为MH=NF,也就是说,MHFN是一个等边梯形。
这样一来,我们就可以运用勾股定理计算它的面积。首先我们可以算出MN的长度。如果画出△MNC的平面图,再运用勾股定理的话,就很容易算出来:
接下来,可以按照画△MNC的方式画出△HFG,它的边长是△MNC的2倍。
然后我们再画出MHFN的平面图:
在这里,HI和JF是同样的长度,所以:
由于梯形的面积为:
(上底+下底)×高÷2
因此,我们只要知道高度(MI和NJ的长度),就能够得出MHFN的面积。
在这里,△MIH是直角三角形,那我们就可以运用勾股定理来计算。但是,要想计算MI的长度,就必须先计算MH的长度。那么,我们就要从正方体的草图当中提取出△DHM。提取出来之后,就能看出这也是一个直角三角形。
至此,我们就可以计算MI的长度了。
Mh 2 =HI 2 +MI 2
我们将MH=
,HI=
代入到算式当中,得出梯形的高度为:
最后,梯形MHFN的面积:
在整个运算的过程当中,我们要注意的重点就是 从草图当中提取出几个平面图。 通过降低次元,我们把3次元的草图变成2次元的平面图,这样运算就会变得轻松。
今后,当你感觉计算困难的时候或者是把握不了立体图形的时候,不妨想一想:能不能降低次方或次元?
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