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欧拉的信中提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成三个质数之和。质数就是除了1与本身外，没有其他的约数，如7的约数只有1和7。当时1被认为是质数。哥德巴赫提出的猜想举例：10=1+2+7, 101=3+7+91。
然而，欧拉经过反复的思考，即不能给出证明，也不能举出反例，只能在给哥德巴赫的回信中说明自己无法证明，但相信哥德巴赫提出的命题是正确的。同时，欧拉对哥德巴赫猜想给出了另一种等价陈述：任一大于2的偶数都可表示成两个质数之和。如10=3+7，100=3+97。此即为欧拉版本的哥德巴赫猜想。
欧拉版本的哥德巴赫猜想与原哥德巴赫猜想本质上是一致的。下面给出了两者等价的证明过程。
由于现在不再将1视为质数，因此，现在所流传的哥德巴赫猜想为欧拉版本的哥德巴赫猜想。
近现代以来，证明哥德巴赫猜想的途径主要是基于殆素数。殆素数就是素因子个数不多的正整数。殆素数不一定是质数。如4=2*2，4是一个殆素数，同时也是一个合数，素因子个数为2。
通过殆素数证明哥德巴赫猜想的想法是：既然无法证明任一大于2的偶数等于两个质数之和，但能否通过证明任一大于2的偶数等于两个殆素数之和去逼近哥德巴赫猜想。用“a+b”表示如下命题：每个大偶数N都可表为A+B，其中A和B的素因子个数分别不超过a和b。则哥德巴赫猜想为“1+1”。
20=8+12=2*2*2+2*2*3，20表示成两个殆素数8与12之和，8与12的素因子个数分别是3。此即为“3+3”。1956年中国王元证明了“3+3”。
最接近“1+1”证明的是中国陈景润与1966年证明的“1+2”。虽然“1+2”举例“1+1”只有一步之遥，从陈景润证明“1+2”到现在，已过去44年，这一步始终未能迈出。谁能最终摘下数学史上的王冠——哥德巴赫猜想，拭目以待。
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