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全等三角形综合题十之八九都离不开辅助线,所以掌握全等三角形这章常用的辅助线就等于拥有解决问题的金钥匙。对于全等三角形的辅助线常用的有以下五个类型,至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
遇到三角形的中线,作倍长中线是常用的思路。这题可延长ED至点M,使DE=DM,再连接MC和CF,通过构造出来的全等三角形和垂直平分线的性质把线段BE、CF、EF转化到同一个三角形中即可求解。
角平分线上的点到一个角两边的距离相等,垂直平分线上的点到一条线段两端点的距离相等。当一道题中出现这两条特殊线时,可根据这两条性质构造全等三角形。这题可连接BD和CD,就构造出了DBE和DEC这两个全等三角形。
要求▲AMN的周长,根据已知条件无法求出三角形的边长,只能找与其它已知线段的等量关系,所以需要添加辅助线构造全等三角形。这题可以将▲DCN绕D点旋转120°,即可构造出▲DMN≌▲DMP,从而得出▲AMN的周长等于AB+AC。
平移是全等变化的一个重要类型,要证明边的大小关系问题需要转化为三角形三边关系来解答。此题可将▲ABD平移至▲A′EC,这样可以把AB+AC转化为OA+OA′+OE+OC>AE+A′C。运用三角形“任意两边之和大于第三边”即可得出结论。
证明线段的和、差、倍、分等类的题目,在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明,这是比较惯用的技巧。这题可延长AB到M,使BM=BP,连接PM,这样构造出▲APM≌▲APC,所以AD=AC,即可证明出结论。
当问题的条件不够时,添加辅助线构成新图形,形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为自己能解决的问题,这是解决问题常用的策略。
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