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下文节选自《 数学思考法：解析直觉与谎言》，已获图灵授权，【遇见数学】特此表示感谢！
井盖与50 便士
翻一翻数学问题集，选一两个问题研究研究，已经成为我每天必不可少的功课。
今天的问题是：井盖为什么是圆形的？
答案毫无疑问，是为了防止井盖掉落到井里！
我们日常生活中随处可见的一些物体，它们之所以采用了现在的形状，并不是偶然的。就如同井盖必须是圆的。我认为，这是因为“在任何角度上宽度（直径）都为定值的图形只有圆形”。今天的这个问题对我来说真是小菜一碟。
井盖只有是圆形才不会掉下去？
“井盖为何是圆形的”这个问题，有些读者可能之前就有所耳闻。这道题曾经出现在微软公司的招聘笔试题目中，一度成为人们热议的话题。在回答这个问题时，如果暂时抛开圆形井盖“易于滚动运输”“方便加工”等物理因素，那么答案就是开篇日记中提到的——圆形井盖不容易掉到井里。
真的是这样吗？其他形状的井盖就可能掉下去吗？
我们先来用正方形试一下。如图69 所示，很遗憾，正方形的井盖会掉下去。
对于这样的事情，大多数人可能都会不假思索地点头认同，但鲜有人去质疑、深究。不过，现在希望大家能认真思考一下这个问题：“井盖可以制作成圆形以外的形状吗？”
如何，有新的发现吗？估计会很难吧。因为人一旦将“井盖只要是圆形的就可以”的观念植入脑海，就很难将其根除，思维也很难摆脱其影响。
下面，就让我们一步一步分析，找出真相。
首先，还是以正方形为例，先思考为什么正方形的井盖会轻易掉下去。理由很简单，正方形井盖的话，井口也是正方形，如果把正方形井盖斜过来，就会导致井盖的边长小于井口正方形的对角线。这就是几何中正方形的性质：“正方形的对角线的长度，大于其边长。”正方形对角线的长度，大约是其边长的 √2=1.414 213 56…倍。
那么，如果把井盖做成长方形呢？
如图70 所示，即使换成长方形，结果也是一样的。长方形对角线的长度，仍然大于其任意边长。不管换成什么形状的长方形，都是这种情况。
下面，我们来试试等边三角形的情况（图71）。
等边三角形中，长度最长的就是边长，所以情况和四边形不同。但是，以正三角形的任意顶点向对边作垂线（三角形的高），垂线的长度都小于正三角形的边长。这就意味着三角形的井盖也会掉下去。
我们考察了四边形和三角形的情况，不过还是不能完全解答井盖形状的问题，但是我们已经在逐渐接近真相了。下面，我们来考察正五边形的情况。
如图72 所示，通过计算可知，正五边形的对角线等于其边长的(1+√5)/2=1.618033 …倍，高等于其边长的1.538 841…倍。
正五边形的情况虽然比正三角略微复杂，但正五边形的高同样小于其对角线，也就意味着正五边形的井盖同样会掉到井里去。用同样的思路考察正七边形、正九边形……会发现这些图形的高都小于对角线。
勒洛多边形
如果井盖使用正奇数边形的话，应该如何改进呢？现在问题的关键就在于，图形的高小于对角线，会导致井盖在某个角度掉下去。
我们先来看一下正三角形的情况。将圆规的针尖放置在正三角形的一个顶点上，画出连接另外两个顶点的扇形。这样所得到的图形的高就等于其对角线（正三角形的情况下，对角线其实就相当于其边长），都等于这个扇形的半径。依次对三个顶点进行上述作图，就可以得到图73 这种“胖乎乎”的三角形，这种三角形被称为“勒洛三角形”。这种三角形虽然不是圆，但却具有圆的某种性质，即无论在任何角度上，图形的宽度都是相等的（图74）。这种性质在数学中叫作“等宽性”或“定宽性”。既然图形的宽度恒定，那么就可以用来制作井盖了。
同样，正五边形、正七边形也可以变形为“圆乎乎”的图形，即勒洛五边形、勒洛七边形（图75）
勒洛多边形在现实生活中已经有许多实际应用。不知大家是否见过英国流通的20 便士、50 便士硬币，这两种硬币的形状实际上是勒洛七边形（图76）。
仔细看的话，是可以发现这些硬币的微妙弧度的。英国政府没有采用单纯的正七边形的设计，而是颇费心思地使用了有弧度的勒洛七边形。从这小小的细节上，也能让人感受到昔日英国的荣光。
现在，总算搞清楚了井盖形状的问题。不过，问题的解答中也延伸出了另一个疑问：如果可以使图形的边具有弧度，那是否可以使角也具有弧度呢？
当然，这个也是可以实现的。以勒洛三角形为例，以该三角形的曲边上某一点为圆心，画一个任意半径的圆。然后，使这个圆沿着曲边运动一圈，得出的与此圆相切的曲边三角形（图77）就是我们的目标图形。同时，这也是一条等宽曲线。
其他的勒洛多边形，也可以采用同样的方式调整。
此外，除了上文中提到的“等宽性”以外，勒洛多边形还具备其他一些非常特殊的性质。例如，勒洛三角形的周长，计算如下：
而这个公式，和直径等于其宽度的圆的周长公式是一致的，如下：
圆周长=直径（宽）× π
不只是勒洛三角形，勒洛五边形、勒洛七边形……不管是几边形，有几个角，结果也是同样的。这是因为这些图形的周长都可以用下面的公式计算：
最后还要说明一下的是，勒洛多边形也可以变化为立体的多面体，且其曲面也具备“等宽性”。以正四面体为例，类似用圆规画勒洛三角形的弧边一样，可以在正四面体的各个平面上制作出等宽的曲面（图78）。这种多面体类似我们常见的栗子，是不是很可爱？可见，具备等宽性的曲面，也不只是球面。
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