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三角形角平分线的夹角分三种情况:内角平分线的夹角、内角平分线和外角平分线的夹角、外角平分线的夹角。
(1)内角平分线的夹角:∠D=90°+1/2∠BAC
已知:△ABC中,BD、CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线.
求证:∠D=90°+1/2∠BAC.
证明:∵BD平分∠ABC,CD平分∠ACB(已知)
∴∠DBC=1/2∠ABC,∠DCB=1/2∠ACB(角平分线定义)
∴∠DBC+∠DCB=1/2(∠ABC+∠ACB)(等量代换)
∴∠D=180°-(∠DBC+∠DCB)(三角形内角和定理)
=180°-1/2(∠ABC+∠ACB)(等量代换)
=180°-1/2(180°-∠A)(三角形内角和定理)
=90°+1/2∠A(等式运算)
(2)内角平分线和外角平分线的夹角:∠E=1/2∠A
已知:∠ACD为△ABC的外角,BE平分∠ABC,CE平分∠ACD.
求证:∠E=1/2∠A.
证明:∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD(已知)
∴∠EBC=1/2∠ABC,∠ECD=1/2∠ACD(角平分线定义)
∴∠E=∠ECD-∠EBC(三角形外角的性质)
=1/2(∠ACD-∠ABC)(等量代换)
=1/2∠A(三角形外角的性质)
(3)外角平分线的夹角:∠F=90°-1/2∠A
已知:AF、CF分别为△ABC的外角∠EAC、∠ACD的平分线.
求证:∠F=90°-1/2∠A
证明:∵∠EAC=∠B+∠ACB,∠ACD=∠B+∠BAC(三角形外角的性质)
∴∠EAC+∠ACD=∠B+∠ACB+∠B+∠BAC(等量代换)
=180°+∠B(三角形内角和定理)
∵AF平分∠EAC,CF平分∠ACD(已知)
∴∠FAC=1/2∠EAC,∠FCA=1/2∠ACD(角平分线定义)
∴∠F=180°-(∠FAC+∠FCA)(三角形内角和定理)
=180°-1/2(∠EAC+∠ACD)(等量代换)
=180°-1/2(180°+∠B)(等量代换)
=90°-1/2∠B(等式运算)
巧记
内交=直角+半角
外交=直角-半角
杂交=半角
拓展
以上三种图是最常见的,事实上只要是角平分线所在直线的夹角都符合结论。
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