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三角形角平分线的夹角分三种情况：内角平分线的夹角、内角平分线和外角平分线的夹角、外角平分线的夹角。
（1）内角平分线的夹角：∠D=90°+1/2∠BAC
已知：△ABC中，BD、CD分别为∠ABC和∠ACB的平分线.
求证：∠D=90°+1/2∠BAC.
证明：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB（已知）
∴∠DBC=1/2∠ABC，∠DCB=1/2∠ACB（角平分线定义）
∴∠DBC+∠DCB=1/2（∠ABC+∠ACB）（等量代换）
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）（三角形内角和定理）
=180°-1/2（∠ABC+∠ACB）（等量代换）
=180°-1/2（180°-∠A）（三角形内角和定理）
=90°+1/2∠A（等式运算）
（2）内角平分线和外角平分线的夹角：∠E=1/2∠A
已知：∠ACD为△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD.
求证：∠E=1/2∠A.
证明：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD（已知）
∴∠EBC=1/2∠ABC，∠ECD=1/2∠ACD（角平分线定义）
∴∠E=∠ECD-∠EBC（三角形外角的性质）
=1/2（∠ACD-∠ABC）（等量代换）
=1/2∠A（三角形外角的性质）
（3）外角平分线的夹角：∠F=90°-1/2∠A
已知：AF、CF分别为△ABC的外角∠EAC、∠ACD的平分线.
求证：∠F=90°-1/2∠A
证明：∵∠EAC=∠B+∠ACB，∠ACD=∠B+∠BAC（三角形外角的性质）
∴∠EAC+∠ACD=∠B+∠ACB+∠B+∠BAC（等量代换）
=180°+∠B（三角形内角和定理）
∵AF平分∠EAC，CF平分∠ACD（已知）
∴∠FAC=1/2∠EAC，∠FCA=1/2∠ACD（角平分线定义）
∴∠F=180°-（∠FAC+∠FCA）（三角形内角和定理）
=180°-1/2（∠EAC+∠ACD）（等量代换）
=180°-1/2（180°+∠B）（等量代换）
=90°-1/2∠B（等式运算）
巧记
内交=直角+半角
外交=直角-半角
杂交=半角
拓展
以上三种图是最常见的，事实上只要是角平分线所在直线的夹角都符合结论。
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