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人们常说“百闻不如一见”，意即把图作为传递信息的手段比语言文字包含更丰富的内容。图被用来表达、存储、传递信息，成为愈来愈重要的研究对象。点与线是构成图形的最基本元素点动成线， 线动成面，面动成体。点与线的运动、组合、变化、数字化，可生成复杂的图形，宛如演奏出气势磅礴的优美乐章。
简单地看，连点得线，线交于点；深入地想，屏幕是如何呈现图像的？计算机是怎样画图的？……这些归根结底是基于“点”的显示。
德国著名工业设计家、卡塞尔大学的德灵格教授认为：少数几条折线并不能给人以特别的感觉，然而，一旦折线的条数多而密集、杂乱、随机，将产生强烈的视觉冲击。他创造性地绘制的线画艺术作品曾在欧美巡回展出，在设计界引起巨大的轰动。
德灵格的线画艺术作品从20世纪90年代开始，德灵格独创的线画艺术作品巡展于世界各地，他还与数学家合作，为他的线画艺术建立了用微分方程描述的数学模型。
螺线(Spiral)，也称定倾曲线，指任何一种围绕一个中心点或一条轴旋转，同时又逐渐远离动点的轨迹。螺线既是一种迷人的数学现象，又是一种与生命相关的极为普遍的数学形态。
螺线可以说大自然的鬼斧神共，这就正像法布尔总结的那样：“几何，以及面积的和谐支配着一切。”螺线背后精准优雅的规律，无疑让一代又一代的人为之痴迷。
瑞士数学家伯努利曾深入研究对数螺线的性质，他的墓碑上刻着一句一语双关的美妙颂词：“虽然改变了，但我还是和原来一样。”正如著名哲学家罗素说过：数学，不仅拥有真理，也拥有至高的美。
例1．（1）平面上的100个点最多能画出多少条直线？
（2）平面上的100条直线最多有多少个交点？
（3）平面上的100条直线最多可以把此平面分成多少个部分？
分析：要求数量“最多”，需无三点共线或无三线交于一点。作出100个点、
100条直线情形下的图形是困难的，不妨从简单情形切入，观察、归纳、发现规律。
解：（1）当n=2，3，4时，画出最多直线的条数分别是：
因为2=1+1，4=1+3=1+1+2，7=1+6=1+1+2+3，所以100条直线最多可把平面分成的部分为：1+（1+2+3+…+100）=5051.
对于例1，你能用字母表示一般性的规律吗？
变式1．平面上有10条直线，无任何3条交于一点，要使它们出现31个交点，怎样安排才能得到？（吉林省竞赛题）
解析：设10条直线交点的个数为n，则0≤n≤45（为什么）。
按题设要求只出现31个交点，需减少14个交点，有下列两种方法：
（1）多线共点，这与题设矛盾。
（2）出现平行线。
若有6条直线互相平行，则可减少15个交点，故在这一方向上最多可取5条平行线，这时还有4个交点需要减去，换一个方向取3条平行线，即可减少3个交点，这时还剩下2条直线和1个需要减去的点，只需使这两条直线在第三个方向上互相平行即可。
如图，下列方案供参考：
变式2. （“希望杯”邀请赛试题）①已知平面内有4条直线a，b，c和d，直线a，b和c相交于一点，直线b，c和d也相交于一点。试确定这4条直线共有多少个交点？并说明你的理由。
②作第5条直线e与①中的直线d平行，请问：以这5条直线的交点为端点的线段有多少条？
解析：①直线a，b，c和d共有1个交点，理由如下：
设直线a，b，c的交点为P，直线b，c，d的交点为Q，这意味着点P和Q都是直线b和c的交点，由于两条不同的直线至多有一个交点，因此点P和2必是同一个点，即4条直线a，b，c和d相交于同一个点。因此这4条直线a，b，c和d只有1个交点（不妨记为点O）。
②因为作的第5条直线e与①中的直线d平行，所以直线e与直线d没有公共点，因此，直线e不过点O，而直线a，b，c都与直线d相交于点O，所以，直线a，b，c与直线e都相交（与两条平行线中一条相交的直线必与另一条相交）。
设直线e与直线a，b，c分别相交于点A，B和C，这时如图有A，B，C，O四个不同的点，可以连出OA，OB，OC，AB，AC，BC共6条不同的线段。
变式3.（1）一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明．
（2）四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系．
（3）平面上有n条直线．每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，
【解答】：（1）如图①，两条直线可以把平面分成3或4个部分；如图②，三条直线可以把平面分成4或6或7个部分；
（2）如图③，四条直线最多可以把平面分成11部分；四条直线的位置关系：四条直线两两相交；
（3）一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，则n条最多可以把平面分成：
例2．杰克逊是一位数学科普作家，在他《冬天傍晚的推理娱乐》一书中给出下列这道名题：9棵树栽9行，每行栽3棵，如何栽？
解析：把树看作点，行抽象成线，问题的实质是探讨点与线的关系。我们需要画图、试验、再调整。
有不同栽法，如图①：
图②表示：9棵树每行栽了3棵，可栽行数的最大值是10。
从点线出发，可以组成千变万化的图形，可得到更有趣的问题。
对于例3，更一般的问题是：n棵树每行栽k棵（0 人们希望能找到与n，k有关的、所栽最多行数的表达式，但竟是如此的艰难。 变式. 英国数学家、逻辑学家道奇森在其童话名著《爱丽丝梦游仙境》中也提出过下面这个植树问题：10棵树栽成5行，每行栽4棵，如何栽？ 解析：下列栽法仅供参考。 1687年，牛顿的代表作《自然哲学之数学原理》出版，书中系统阐述了三大运动定律、万有引力定律，解决了行星运动、自由落体运动、声音、波、潮汐等各种问题。牛顿是第一个大量运用数学方法来系统研究物理理论的大科学家。 例3．线段图 （1）A，B，C，D，E，F六个足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A，B，C，D，E五个队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，问还没有与B队比赛的球队是哪个队？ （2）某摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭，但由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车行驶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C市到这里的路程的二分之一就到达目的地了，问A，B两市相距多少千米？（“华杯赛”试题） 解析：（1）用算术或代数方法解，易陷入困境，用6个点分别表示A，B，C，D，E，F这六个足球队，若两队已经赛过一场，就在相应的两个点之间连一条线段，如图，易知未与B队比赛的球队是E队。 （2）条件中只有路程，而没有给出时间与速度，故应集中注意各段路程之间的关系，借线段图分析。 意大利著名科学家伽利略曾说：“宇审是用数学语言写成的，其字母是正三角形、圆形及其他图形，缺乏对这一知识的了解，人类便无法读懂其中的奥秘。” 从六角星形的雪花到螺旋形DNA，从放射状的对称水晶到一片树叶的分形，我们不禁会问：为什么气泡呈现出完美球形？宇宙是什么形状？……，要理解自然界为何创造出如此丰富的图形世界，几何是关键。 两千多年前的古希腊数学以几何学为中心，欧几里得的《几何原本》集古希腊几何学之大成。1606年，徐光启与意大利传教士利玛窦合作，翻译出版了《几何原本》前六篇，对中国科学史产生了巨大影响。利玛窦盛赞《几何原本》之精，又陈述此书汉译之难，徐光启说：“鸣呼，吾避难，难自长大；吾迎难，难自消微，必成之”，强烈的使命感、过人的勇气、坚定的决心，溢于言表。 美国汉学家史景迁说过，“即使我们不能确定，正是欧几里得的几何学最先在1600年将上海学者徐光启带入利玛窦的圈子，但可以肯定的是，……欧几里得的几何学使他们的友谊变得更为牢固了。”
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