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当我还是个不谙世事的小学生时,我练字、阅读、学好数学,争做五讲四美、每门成绩都是90+的优秀少先队员。强者总是孤独的,就在我以为我会在成绩的山巅孤独地度过小学生涯时,我遇上了一生之敌——鸡兔同笼问题,也是这个比我太太太太爷爷活得都长的著名题型,让我第一次怀疑我是不是不适合学数学。
即使后来,我学习了解方程式,鸡兔同笼再也不能威胁到我,可我仍旧不理解小学数学老师讲的“半足法”。让鸡立起1只脚,让兔子长出两个头,这个场景带给我的不是解题思路,而是略带滑稽的恐怖。
终于我决定再次揭开小学时的伤疤,潜心研究老祖宗传下来的鸡兔同笼解题方法。大家先跟着我,了解一下鸡兔同笼的历史溯源吧。
一、 《孙子算经》半足法解“雉兔同笼”
“鸡兔同笼”问题最早记载于公元3、4世纪的《孙子算经》,其中的叙述为“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足。问雉兔各几何”。“雉”是野鸡的意思,这段话是说,笼子里有鸡和兔,一共有35个头,有94只脚,问鸡和兔各有多少只。
《孙子算法》的解法就是我们常说的“半足法”,上置头,下置足,半其足,以头除足,以足除头即得。”
总足数94取半成为47,此时相当于所有鸡都成为了金鸡独立的“独足鸡”,所有兔都站立起来成为了“双足兔”。此时每只鸡的头数和足数都是1,每只兔的头数是1,足数是2,所以用47减去总头数35就得到兔的只数是12。最后用总头数35减去12就得到鸡的只数。
二、 《算法统宗》倍头法解“鸡兔同笼”
“鸡兔同笼”问题后来又收录于明代程大位(1533-1606年)所著《算法统宗》第八卷的“少广章”, 其中对问题的叙述把“雉”改为了“鸡”,因此“鸡兔同笼”的说法沿用至今。
《算法统宗》中对问题给出了两种算法,第一种算法的过程是:
第一步:“置总头倍之得七十”,意思是将总头数35加倍,也就是乘2,得到70;第二步:“与总足内减七十余二四”,也就是从总足数94中减去70得到24;第三步:“折半得一十二是兔”,将24折半(也就是24除以2),得到12,这就是兔的只数;第四步:“以四足乘之得四十八足”,用每只兔的足数4乘12,得到兔的总足数48;第五步:“总足减之余四十六足为鸡足”,用总足数94减去兔的总数48得到46,就是鸡的总足数;第六步:“折半得二十三”,将鸡的总足数46折半(46除以2),就得到鸡的只数为23。
另外一个算法是先求鸡的只数,与前面先求兔只数的程序基本相同
书中对该算法的叙述为:“倍头减足折半是兔”,“四头减足折半是鸡”。第一句话的意思是把求兔的只数的过程分为了倍头、减足和折半三个步骤,“倍头”就是把总头数35加倍变成70;“减足”是用总头数94减去70得到24;“减半”就是取24的一半得到兔子的只数为12。这个过程写成如今的算式就是:
(94-35×2)÷2=12(只)
第二句话的意思是把求鸡只数的过程分为了四头、减足和折半三个步骤,“四头”就是用4乘总头数35得到140;“减足”是用140减去总足数94得到46;与求兔只数的过程类似,“折半”就是取46的一半得到鸡的只数23。写成算式就是:
(35×4-94)÷2=23(只)
这种算法也被称作“倍头法”。
其实,如今再看这两种算法,很轻易就理解了。只是对于绝大部分数学基础尚且十分薄弱的小学生来说,他们很容易被这两种解释绕晕,陷在思维的迷雾中不知所措。
无论是《孙子算经》的半足法,还是《算法综述》的倍头法,都是“只叙术,不讲理”。哪怕孩子们按照算法流程计算出了正确答案,也不一定明白其中的操作原理。由此我们也可以得出一个学习数学的启示:想要学好数学,一定要对一类题型进行概念性理解,所谓万变不离其宗,只有做到了解其本质原理,我们才有可能在面对各种衍生、变种题型中游刃有余。
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