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无论是在整部数学的发展史中,还是在个人的数学学习当中,“数形结合”的思想都是极为重要的工具。比如我国古代的“杨辉三角”与西方的“牛顿二项式定理”的结合,成了数学史中的一段美谈,然而这到底是怎么回事呢?还得从我们初中二年级学习的“因式分解”说起。
我们知道,把一个“多项式”化为几个“整式的积”的形式,我们称这为“因式分解”。它在中学时代的主要作用是用于等式的“恒等变形”,是“求根作图”、“解一元二次方程”等问题的“有力工具”。
在“因式分解”的学习中,我们要求掌握一个非常重要的“乘法公式”——“完全平方和”公式。而我们今天要说的这个故事,就是从这个“完全平方和”公式开始的。
初中二年级数学课本中的“完全平方和”公式是这样的:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,我们要做的是,用“归纳猜想法”搞清楚它的来龙去脉:搞清楚它从哪儿来,又要到哪儿去,也就是说,在解题的过程中要“能进能退,进退有度”。
全5册思维导图超级记忆术最强大脑思维风暴 逆转思维过目不忘训练方法技巧 青少年逻辑思维记忆力训练书籍 ¥26.8淘宝月销367购买要搞清楚它从哪儿来,就先用“退法”,华罗庚曾说过“学习数学要善于退,足够地退,退到最原始而不失重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。”
那么以这个公式来说,我们要退到的“最原始而又不失重要性的地方”就是:(a+b)^0=1。
“退”的目的就是为了“进”,在本题中,我们进的目标就是“两数和”的“正整数次幂”——牛顿二项式定理。
这时我们就可以用“归纳猜想”法来进行“合情推理”:
(a+b)^0=1
(a+b)^1=a+b
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3a*b^2+b^3
……
那么,(a+b)^n=?,这时可以用“组合数”的形式表示如下:
细心的人会发现以上式子的推演,每一“项的系数”都呈一定的规律排列,而令人惊讶的是,这一规律与我国南宋时期就已经发现的“杨辉三角”的规律不谋而合。“杨辉三角”如下图所示:
杨辉三角有如下两个最为重要的性质(更多其它性质均可由此推出):
①“每个数字”等于“上一行的左右两个数字之和”,根据此性质可以写出整个“杨辉三角”。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
②第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
由上图可知,“杨辉三角”是“二项式系数”在三角形中的一种“几何排列”。它把“二项式系数”进行图形化,把“组合数”内在的一些“代数性质”直观地从图形中体现出来,是一种“离散型的数与形的结合 ”。
当我们结合“杨辉三角”和“牛顿二项式定理”就可以解决一些难题:比如,不用计算器求1.1^10的值,可以将该数值化成(1+0.1)^10,从而借助“牛顿二项式定理”求出每一个“项”,再根据“杨辉三角”得出“每一项的系数”。在考试中,结合“杨辉三角”和“牛顿二项式定理”解决类似难题的例子数不胜数。
有人说,一些关似的难题看似无从下手,但是一旦想到了上述的“归纳猜想”的方法,瞬间让难题变成了小学的计算题。在今天看来,这些公式并不是那么难,但数学家们却经过了长达千年的深度思考。
早在我国古代(11世纪中叶),我国数学家贾宪就在其《释锁算书》中给出了“开方作法本原图”,在那时就已经满足了“三次以上开方”的需要。然而遗憾的是,贾宪没有进行更深入的研究,从而也没有给出“二项式系数”的一般公式,因而也没有建立起一般“正整数次幂”的“二项式定理”。
九章算术 科普读物 (魏晋)刘徽注 江苏凤凰科学技术出版社 9787553772813¥40.14京东购买13世纪,杨辉发现了该图并将其载入《详解九章算法》中,清楚地注明了此图的出处。由于贾宪的原作已经失传,正是因为杨辉的工作而使得这一令国人引以为傲的成果流传至今,因而后人们称此图为“贾宪三角”或“杨辉三角”。
数百年以后的1654年,法国的帕斯卡才建立起“一般正整数次幂的二项式定理”,因此“算术三角形”在西方至今仍以他的名字命名。
1665年,英国的牛顿“将二项式定理”推广到“有理指数”的情形。“二项式定理”的建立,为“微积分”的建立奠定了基础。
以上就是“牛顿二项式定理”的来龙去脉,体现的是“从一到无穷大”进行推演的“数学思想方法”——“数学猜想法”的重要性。
【5本】从一到无穷大+物理世界奇遇记+给孩子的数学三书原来数学可以这样学 自然科学数学物理知识科普读物¥80淘宝月销14购买“牛顿二项式定理”是一个极为重要的定理,为“微积分”的诞生奠定了基石。然而可惜的是,在西方“微积分”开始萌芽、发展、成熟的时候,同时期的中国正处于明、清时期,那时的封建统治者认为类似于这样的推演不过是“奇技淫巧”,是不务正业的表现。
也正是在这种落后思想的影响下,使得中国的数学在明、清时期全面陷入停滞状态,导致科技发展全面落后于同时期的世界。落后就要挨打,从而使得近代中国陷入了长达100年的苦难。
综上所述,在数学的发展过程中,数学家们最常用的工具就是“归纳猜想”:从一些人们习以为常且极容易被人忽视的小现象作为最基本的“公理”,然后进行层层推导,从而得出复杂的“公式定理”,从而解决人类生活生产中的实际问题,从而推动人类文明的发展。
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