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一元二次方程根的分布是初中数学竞赛的内容之一，它涉及的范围较广，在学习这部分内容时，应加强对求根公式、判别式、韦达定理、二次函数及整数的有关性质等理解、掌握、运用。
二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c（a≠0），令y=0，则有ax^2+bx+c=0，这是一个关于x的一元二次方程，所以说一元二次方程与二次函数有深刻的内在联系。
①当△>0时，方程有两个不相等的实根，二次函数与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），则有x1+x2=-b/a，x1.x2=c/a，AB=√（b^2-4ac）/丨a丨。
②当△=0时，方程有两个相等的实根，二次函数与x轴只有一个交点。
③当△<0时，方程没有实根，二次函数与x轴没有交点。
例1、已知二次函数y=x^2+mx+m-2。证明：无论m取何实数，抛物线与x轴总有两个交点。
分析：要证明二次函数y=x^2+mx+m-2与x轴有两个交点，只需证明一元二次方程x^2+mx+m-2=0有两个不等的实数根即可。
证明：令y=0，则有x^2+mx+m-2=0。
△=m^2-4（m-2）
=m^2-4m+8
=（m-2）^2+4>0，
即一元二次方程有两个不等的实根，所以无论m取何实数时，抛物线与x轴总有两个交点。
例2、已知二次函数y=ax^2+bx+c（其中a是正整数）的图像经过点A（-1，4）与点B（2，1），并且与x轴有两个不同的交点，求b+c的最大值是多少？
分析：把A、B两点代入抛物线方程，再由该抛物线与x轴有两个不同交点得△>0，解出字母参数的关系与取值范围。
解：把A、B两点代入抛物线方程得：
a-b+c=4①，
4a+2b+c=1②，
解得：b=-a-1，c=-2a+3。
又△=b^2-4ac=（-a-1）^2-4a（-2a+3）>0，
解得a<1/9或a>1。
又因为a是正整数，所以a≥2。
b+c=（-a-1）+（-2a+3）=-3a+2≤-4。
即b+c的最大值为-4。
例3、已知抛物线y=x^2+bx+c与x轴只有一个交点，且交点坐标为A（2，0）。
①求b，c的值；
②若抛物线与y轴的交点为B，坐标原点为O，求△AOB的周长。
分析：抛物线过点A且△=0。
解：①把点A代入抛物线方程得：
4+2b+c=0①，
△=b^2-4c=0②，
解得b=-4，c=4。
或由与x轴交点坐标为（2，0）
得-b/2=2，4c-b^2=0，解得b=-4，c=4。
②该抛物线的表达式为y=x^2-4x+4，
所以抛物线与y轴的交点B的坐标为（0，4），如图所示。
AO=2，BO=2，AB=√（2^2+2^2）=2√2。
所以△AOB的周长为：2+2+2√2=4+2√2。
例4、已知二次函数y=-x^2+（m-2）x+m+1。
①证明：无论m取任何实数，这个二次的图像必与x轴有两个交点。
②当m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
③当m为何值时，这个二次函数的图像的对称轴为y轴？
①证明：
△=b^2-4ac
=（m-2）^2+4（m+1）
=m^2-4m+4+4m+4
=m^2+8>0。
所以不论m取何实数，该抛物线与x轴有两个交点。
②设抛物线与x轴两个交点分别为x1，x2，由题意得：
x1+x2=-b/a<0，x1x2=c/a>0，
即m-2<0，-（m+1）>0，
解得m<2，m<-1，所以m<-1。
即当m<-1时，抛物线与x轴两个交点都在原点左侧。
③由题意得x1+x2=0，x1x2<0，
解得m=2。
当m=2时，这个二次函数的图像的对称轴是y轴。
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