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小学数学典故普乔柯趣题
普乔柯是原苏联著名的数学家。1951年写成《小学数学教学法》一书。这本书中有下面一道有趣的题。
商店里三天共卖出1026米布。第二天卖出的是第一天的2倍；第三天卖出的是第二天的3倍。求三天各卖出多少米布？
这道题可以这样想：把第一天卖出布的米数看作1份。就可以画出下面的线段图：
第一天为1份；第二天为第一天的2倍；第三天为第二天的3倍，也就是第一天的2×3倍。
列综合算式可求出第一天卖布的米数：
1026÷（l＋2＋6）＝1026÷9＝114（米）
而 114×2＝228（米）
228×3＝684（米）
所以三天卖的布分别是：114米、228米、684米。
请你接这种方法做一道题。
有四人捐款救灾。乙捐款为甲的2倍，丙捐款为乙的3倍，丁捐款为丙的4倍。他们共捐款132元。求四人各捐款多少元？
牛顿问题
英国伟大的科学家牛顿，曾经写过一本数学书。书中有一道非常有名的、关于牛在牧场上吃草的题目，后来人们就把这类题目称为“牛顿问题”。
“牛顿问题”是这样的：“有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽；养牛23头，9天把草吃尽。如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢？并且牧场上的草是不断生长的。”
这类题目的一般解法是：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：
（1）27头牛6天所吃的牧草为：27×6＝162
（这162包括牧场原有的草和6天新长的草。）
（2）23头牛9天所吃的牧草为：23×9＝207
（这207包括牧场原有的草和9天新长的草。）
（3）1天新长的草为：（207－162）÷（9－6）＝15
（4）牧场上原有的草为：27×6－15×6＝72
（5）每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：
72÷（21－15）＝72÷6＝12（天）
所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
请你算一算。
有一牧场，如果养25只羊，8天可以把草吃尽；养21只羊，12天把草吃尽。如果养15只羊，几天能把牧场上不断生长的草吃尽呢？
鬼谷算
我国汉代有位大将，名叫韩信。他每次集合部队，只要求部下先后按l～3、1～5、1～7报数，然后再报告一下各队每次报数的余数，他就知道到了多少人。他的这种巧妙算法，人们称为鬼谷算，也叫隔墙算，或称为韩信点兵，外国人还称它为“中国剩余定理”。到了明代，数学家程大位用诗歌概括了这一算法，他写道：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，
七子团圆月正半，除百零五便得知。
这首诗的意思是：用3除所得的余数乘上70，加上用5除所得余数乘以21，再加上用7除所得的余数乘上15，结果大于105就减去105的倍数，这样就知道所求的数了。
比如，一篮鸡蛋，三个三个地数余1，五个五个地数余2，七个七个地数余3，篮子里有鸡蛋一定是52个。算式是：
1×70＋2×21＋3×15＝157
157－105＝52（个）
请你根据这一算法计算下面的题目。
新华小学订了若干张《中国少年报》，如果三张三张地数，余数为1张；五张五张地数，余数为2张；七张七张地数，余数为2张。新华小学订了多少张《中国少年报》呢？
鸡兔同笼
你以前听说过“鸡兔同笼”问题吗？这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？
解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独角鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，（1）鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；（2）如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即47－35＝12（只）。显然，鸡的只数就是35－12＝23（只）了。
这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
教我如何不想他
“天上飘着些微云，地上吹着些微风。啊——微风吹动了我头发，教我如何不想他？……”“月光恋爱着海洋，海洋恋爱着月光。啊——这般蜜也似的银夜，教我如何不想他？……”这首由刘半农作词，赵元任谱曲的打动人心的歌儿，从20世纪的20年代起直到如今，长久地被人们传唱着。赵元任先生是我国著名的语言学家、音乐家，于1938年赴美先后任夏威夷、耶鲁、哈佛、加州等著名大学的教授，从事教育事业60余年，桃李满天下。人们曾请教他，《教我如何不想他》可不可以理解为一首爱情歌曲？赵先生回答道，也可以这样看，但“他”字可以是男的他，女的她，代表着一切心爱的他、她、它。这是因为，歌词是刘半农先生当年在英国首都伦敦写的，有思念祖国和怀旧的深情。
有趣的是，这首有名的歌曲《教我如何不想他》已被人编成算题：
图2 1
你能算出来么？
答案
容易看出，式子里头的“他”是不能等于5的，否则，“何”也将等于5，违反了约定。另外，“他”也不能等于0，1等，这也很容易看出来。“他”又不能等于7，因为7×7：49，“何”将等于9，进上一位4，由于9—4=5，但要使“想”的6倍等于5，这是不可能的。这样逐一排除的结果，“他”只有唯一的可能性，即等于6，“突破口”一旦找到，本题即可迎刃而解矣。
话说抽屉原理（二）
古代中国的抽屉原理
在我国古代文献中，有不少成功地运用抽屉原理来分析问题的例子。例如宋代费衮的《梁溪漫志》中，就曾运用抽屉原理来批驳“算命”一类迷信活动的谬论。费衮指出：把一个人出生的年、月、日、时（八字）作算命的根据，把“八字”作为“抽屉”，不同的抽屉只有12×360×60＝259200个。以天下之人为“物品”，进入同一抽屉的人必然千千万万，因而结论是同时出生的人为数众多。但是既然“八字”相同，“又何贵贱贫富之不同也？”
清代钱大昕的《潜研堂文集》、阮葵生的《茶余客话》、陈其元的《庸闲斋笔记》中都有类似的文字。然而，令人不无遗憾的是，我国学者虽然很早就会用抽屉原理来分析具体问题，但是在古代文献中并未发现关于抽屉原理的概括性文字，没有人将它抽象为一条普遍的原理，最后还不得不将这一原理冠以数百年后西方学者狄里克雷的名字。
抽屉原理的应用
1947年，匈牙利数学家把这一原理引进到中学生数学竞赛中，当年匈牙利全国数学竞赛有一道这样的试题：“证明在任何六个人中，一定可以找到三个互相认识的人，或者三个互不认识的人。”
这个问题乍看起来，似乎令人匪夷所思。但如果你懂得抽屉原理，要证明这个问题是十分简单的。我们用A、B、C、D、E、F代表六个人，从中随便找一个，例如A吧，把其余五个人放到“与A认识”和“与A不认识”两个“抽屉”里去，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有三个人。不妨假定在“与A认识”的抽屉里有三个人，他们是B、C、D。如果B、C、D三人互不认识，那么我们就找到了三个互不认识的人；如果B、C、D三人中有两个互相认识，例如B与C认识，那么，A、B、C就是三个互相认识的人。不管哪种情况，本题的结论都是成立的。
由于这个试题的形式新颖，解法巧妙，很快就在全世界广泛流传，使不少人知道了这一原理。其实，抽屉原理不仅在数学中有用，在现实生活中也到处在起作用，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等，都不难看到抽屉原理的作用。威廉·向克斯的憾事与圆周率中的统计
圆周率π是圆周长与直径的比值。公元前三世纪，古希腊著名学者阿基米德计算出π≈3.14。公元263年前后，我国魏晋时期的数学家刘徽，利用割圆术计算了圆内接正3072边形的面积，求得π≈3927/1250= 3.1416。又过了约两百年，我国南北朝时期杰出的数学家祖冲之确定了π的真值在3.1415926与3.1415927之间。祖冲之之后的第一个重大突破，是阿拉伯数学家阿尔·卡西，他计算了圆内接和外切正3×228＝805306368边形的周长后得出：π≈3.1415926535897932
公元1610年，德国人鲁道夫（1540～1610）把π算到了小数点后35位。
往后，记录一个接一个地被刷新：1706年，π的计算越过了百位大关，1842年达到了200位，1854年突破了400位，1872年，英国学者威廉·向克斯（1812～1882）花费了整整二十个年头把π的值算到了小数点后707位。向克斯死后，人们纪念他，就在他的墓碑上刻下了他一生心血的结晶：π的707位小数。此后半个多世纪，人们对威廉·向克斯的计算结果深信不疑，以至于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里，依然显赫地刻着向克斯的π值。
又过了若干年，数学家法格逊对向克斯的计算结果产生怀疑，他认为在π的数值式中，各数码出现的概率都应当等于1/10。于是，他统计了威廉·向克斯π的头608位小数中，各数码出现的情况：
法格逊觉得：向克斯计算的π，数码出现的次数不是基本相同，可能是计算有错。于是，他用当时最先进的计算工具，从1944年5月到1945年5月，整整算了一年，终于发现：向克斯π的707位小数中，只有前527位是正确的，由于当初向克斯没有发现，使他白白浪费了许多年的光阴，这真是终生的憾事。法格逊的成就，基于他的一个猜想，即在π值的数值式中各数码出现的概率相等。尽管这个猜想曾导致法格逊发现并纠正了向克斯的错误，然而猜想毕竟不等于事实！法格逊想验证它，却无能为力，人们想验证它，又苦于已知π的位数太少。
但是情况很快有了转机，随着电子计算机的出现和应用，计算π的值有了飞速进展。1961 年，美国学者丹尼尔和伦奇把π算到了小数点后100265位，20 年后，日本人又把记录推过了200000 位大关。于是，人们的心中又重新燃起了验证法格逊猜想的希望之火。1973 年，法国学者让·盖尤与芳旦娜小姐合作，对π的前一百万位小数中各数码出现的频率，进行了有趣的统计，得出以下结果。
从上表看出，尽管各数字出现也有某种起伏，但基本上平分秋色。看来，法格逊的想法应当是正确的！
几何图形中的哲理
直线
向两边延伸，无始无终，无边无际，代表着果断、刚劲和一往无前的毅力。
曲线
轻快流畅，犹如一条静静流淌的小溪；蜿蜒、曲折，犹如人生历程的轨迹。望着您纤细不倦的身影，却放大成奔腾浩荡的大河和博大幽深的海洋。
圆形
从各个方向看都是同一个图形，有其完美的对称性，使人产生“完美无缺”的美感和向往。难怪有圆满、圆润、圆通、圆场之说和“花好月圆”的成语。但是“圆滑”一词，却为人们所不爱。
等腰三角形
有扎实、深厚的基础知识功底，才能构建起尖端的科技大厦。
不可能图形
1958年美国的《心理学杂志》上，彭罗斯发表了他的不可解的三接棍。如图1 1。他称之为立体的矩形构造：三个直角并显示出垂直，但它是不可能存在于空间的，因为在这里三个直角似乎成了一个“三角形”，但三角形是平面而非立体的图形，三个内角和为180°，而非270°。
图1 1 图1 2
20世纪50年代，罗格和彭罗斯写了论不可能图形的文章，文章描述了一种“没有尽头的楼梯”，踏着楼梯好像是一步一步地上升，然而楼梯都是停留在一个水平面上。如图1 2。
图1 3
荷兰著名画家埃舍尔被认为是20世纪公认的视错觉画大师。他的作品以其深刻的数学、物理含义特别得到科学家的重视。如图1 3，他为第十届国际数学大会（1981年奥地利）所作的会标，就是一个三维空间不可能的图形。视觉的迷惑人的视力是有限的，仅凭眼睛的直觉判断有时会使我们得出与事实不符的错误结论。
请看下面的几个例子：
（1）图1中两根弧线哪根长？看起来下面的弧形线要比上面的弧形线长，其实它们一样长。
（2）图2中您认为哪个是正方形？看起来似乎左边的—个是正方形。事实上，如果您量一下，便知右边的—个才是正方形。
图3 1 图3 2
（3）在图3的平行四边形中，线段AE与BE哪一条长一些？其实AE与BE一样长。
（4）图4中AB、CD、EF、GH是四条平行线，但看起来似乎是不平行的，这是由于背景斜线干扰的结果。
图3 3 图3 4
所以在几何的世界里，直觉往往并不可靠，这时就需要用各种方法来验证了。
鲁迅巧对奇联鲁迅曾在三味书屋拜寿镜吾老先生为师念私塾，寿老先生是一位刚正、质朴、博学的人，不仅教学生读四书五经，还教学生对对子。由于对联讲究对仗，所以在对对中，是很能见出
才思之高下的。
一天，寿老先生出了一奇对，上联是：“独角兽”。要求他的学生对出下联．一时引得学生们跃跃欲试，纷纷亮出自己的下联，有：“两头蛇”；“三足蟾”；“九头鸟”；“百足虫”……
寿老先生看了这些下联，都不满意。由于先生上联“独角兽”中的“独”字，是一非数字而又蕴含“单”意的字，所以下联需用一非数字而又蕴含“双”意的字去对，才称得起是对联中的上乘。当寿老先生看到鲁迅对的下联时，不禁大加赞赏。原来鲁迅所对下联是：“比目鱼”。
破碎的数
在拉丁文里，分数是来源于“破碎”一词，因此分数也曾被人叫做是“破碎数”。在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老，在各个民族最古老的文献里，都能找到有关分数的记载，然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。
在欧洲，这些“破碎数”曾经令人谈虎色变，视为畏途。7世纪时，有个数学家算出了一道8个分数相加的习题，竟被认为是干了一件了不起的大事情。在很长的一段时间里，欧洲数学家在编写算术课本时，不得不把分数的运算法则单独叙述，因为许多学生遇到分数后，就会心灰意懒，不愿意继续学习数学了。直到17世纪，欧洲的许多学校还不得不派最好的教师去讲授分数知识。以致到现在，德国人形容某个人陷入困境时，还常常引用一句古老的谚语，说他“掉进分数里去了”。
一些古希腊数学家干脆不承认分数，把分数叫做“整数的比”。
在西方，分数理论的发展出奇地缓慢，直到16世纪，西方的数学家们才对分数有了比较系统的认识。甚至到了17世纪，数学家科克在3/5＋7/8＋9/10＋12/20时，还用分母的乘积8000作为公分母！
而这些知识，我国数学家在2000多年前就都已知道了。我国现在尚能见到最早的一部数学著作，刻在汉朝初期的一批竹简上，名字叫《算数书》。它是1984年初在湖北省江陵县出土的。在这本书里，已经对分数运算作了深入的研究。
稍晚些时候，在我国古代数学名著《九章算术》里，已经在世界上首次系统地研究了分数。书中将分数的加法叫做“合分”，减法叫做“减分”，乘法叫做“乘分”，除法叫做“经分”，并结合大量例题，详细介绍了它们的运算法则，以及分数的通分、约分、化带分数为假分数的方法步骤。尤其令人自豪的是，我国古代数学家发明的这些方法步骤，已与现代的方法步骤大体相同了。
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