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最美的逻辑故事
数学的诞生无法与某个具体地点和时间联系起来，更不用说某一个特定人物了，但是，逻辑却是有可能的。逻辑学的诞生地在希腊，时间大约在公元前 350 年，而亚里士多德是有史以来最伟大的逻辑学家之首。尽管逻辑学与数学完全出生在不同的境遇中，但一个共同点却将逻辑学与自己的近亲——数学联系了起来，那就是抽象的意愿。
第四次抽象运动事实上，在几何学出现之后的一千年（但仍早于代数诞生一千年），第四类分支就产生了，它帮助人们开创了同样具有革命性的学科。当我们说到“逻辑学”时，事实上，我们所说的是形式上的逻辑学，一种仅基于形式来验证某种推理的科学，而不是基于文字所承载的意思或意指。逻辑学通过分析引出语句的一系列命题来确认一个结论为真。
最初，逻辑学可以被定义为一门如何学习“因此”这个词的正确用法的科学。亚里士多德是第一个尝试将推理形式化的人，他将之称为“三段论”。在亚里士多德看来，命题是一个推理的基本元素，语句采用“A 是 B”的形式，语句可以为真或假。因此，命题是逻辑学的基石，就好像点是几何的基本对象，而数字是算术的基本对象。
假设人类的推理就是三个连续命题，这就是三段论理论的起始。命题可以采用以下形式：
A 是 B
B 是 C
因此，A 是 C。
三段论一共有 256 种形式，而亚里士多德证明，它们当中只有 19 种是有效的。
毫无疑问，亚里士多德干得十分漂亮。但是，三段论从一开始就是一个自我封闭的理论，既没有可能存在的研究领域，也没有可期待的新结果。这是一个矛盾，三段论是一个天才的理论，却注定要夭折。它长期被束之高阁，直到康德的出现。但事实上，三段论仅涵盖了人类推理的一小部分！
三段论排列出三个命题，第三个命题即合乎逻辑的结论。按照选定的顺序，同样的三个命题会导致三种不同类型的推理，按顺序分别是：从一般到特殊、从特殊到一般、从特殊到特殊。让我们来仔细看看。
1 演绎法
这条街上的所有房子都很漂亮。
这座房子在这条街上。
这座房子很漂亮。
在数学上，演绎法有着广阔的用武之地，欧几里得的《几何原本》就是以演绎法为基本理论。的确，数学与逻辑学这两个相似学科之间的距离永远不会太遥远。在这部整整 8 卷的鸿篇巨著中，欧几里得从五大公设 1 中推演出了数百个几何定理。演绎法的范式令人印象深刻，因此长期保持着不可撼动的模范地位。长久以来，智力从本质上也被视为演绎逻辑过程，人们甚至推测可以对“智商”进行测量。
1欧几里得在《几何原本》中提出的五大公设是：公设 1，任意一点到另外一点可以画直线；公设 2，一条有限线段可以继续延长；公设 3，以任意点为中心，以任意距离可以画圆；公设 4，直角都彼此相等；公设 5，在同一平面内，如果一条直线和另外两条直线相交，且在某一侧的两个内角之和小于两直角之和，则这两条直线在无限延长后将在这一侧相交。
对于柯南·道尔来说，夏洛克·福尔摩斯的天分就源于对这种思维方式的全面掌握，所以他的第一本推理小说中的第二章就被命名为《演绎科学》——每一位自尊自重的侦探都应该掌握这门学问。
所幸，今天人们已经意识到，智力拥有许多形式，彼此之间还会相互影响，我们将会在本书第三部分中看到。
诚然，在数学中，演绎法能帮助数学家得出一个定理，但是，所有命题已经以某种方式包含在初始假设中了。演绎法揭示了被隐藏的东西，能帮助人们去发现，而不是去发明。演绎法指明了逻辑等价，并用一条等价替换几条等价。然而，人们过去突出的是重言式 2 的特性，也就是说，命题永远为真。而这些只是一般性假设中的特例。
2又称“永真式”，假设一个公式在任意解释下的真值都为真，就称之为重言式。
2 归纳法
这座房子在这条街上。
这座房子很漂亮。
在这条街上所有的房子都很漂亮。
如果说，演绎法是从一般性假设中得出特定的结论，那么相反的方法也是存在的——归纳法旨在基于特定的经验之上，建立一个一般性法则。在 16 世纪，弗朗西斯·培根将其变成了科学方法的工具。这位英国哲学家撰写的《新工具论》一书中就早已显现针对亚里士多德的反对观点。按照培根自己的话来讲，他的假设理论就是为了对抗这位古希腊哲学家的《工具论》，而后者就是让科学脚步停滞不前的罪魁。
于是，我们有了两种推理方式：演绎法将成为数学工具，归纳法将成为基于经验的科学研究工具。但就目前阶段而言，这个方法把问题看得过于简单了。
就连柯南·道尔也在《萨塞克斯郡的吸血鬼案》中不得不承认，归纳法必须面对事实的挑战，时不时地也要接受其他假设。所以，欧几里得的《几何原本》有点过于基本了，我亲爱的华生！ 3
3《这是基本的，我亲爱的华生》（Elementary, My Dear Watson）是一部英国喜剧电影，这句话成了福尔摩斯对华生说的一句名言，但这句话其实并不在柯南·道尔的小说中，只是书迷们的杜撰。
在数学中也会使用归纳法，而且人们有时把它称为“数学归纳法”4。但是，陷阱永远不会太远，在“圆的内接多边形的边和对角线可将圆分割的最大数量”这个著名的问题中，数列从 2、4、8、16 之后突然接着的是 31 ！
4这种数学证明方法通常用于证明，在整个（或局部）自然数范围内，某个命题是否成立。
3 溯因法
这座房子很漂亮。
在这条街上所有的房子都很漂亮。
这座房子在这条街上。
溯因法原本是归纳法中的一个特例。亚里士多德没有特别关注过这种方法——这就奇怪了，因为溯因法是一种比归纳法或演绎法更普遍的推理方法。这是一种“制造假设”的形式，直到桑德斯·皮尔士缔造了符号学，才开始有人仔细研究溯因法。
如上述例子所示，溯因法引领我们从特殊到特殊，它从房子的一个特点（漂亮）出发，接着又提出另一个特点（在这条街上）。溯因法唤醒了人们的直觉和创造力，它有着神秘的一面，当然也有逻辑的一面，但这是一种只能通过事后归纳才能理解的逻辑。
我们将更进一步探索溯因法。今天，认知主义将其更名为“贝叶斯推断”，以此向伟大的数学家托马斯·贝叶斯致敬。但是，我们不要前进得太快。
华而不实的三段论亚里士多德的方法妙不可言。不过，他的方法从一开始就注定要失败了，因为太多有效的推理无法利用三段论的简单规则，将三个连续命题连贯起来表达。下面列举四个例子。
例一 逻辑学家奥古斯都·德摩根给出了以下推理。
大多数环保主义者是素食者。
大多数环保主义者都投票支持左翼阵营。
因此，某些素食者投票支持左翼阵营。
上述这个推理是一个有效的推理，但它没有遵守三段论的规则之一，即三个命题中至少有一个是具有普遍性的，比如，“人固有一死”或者“没有人会飞”。
德摩根是一位对数学充满热情的逻辑学家。当人们问起他的年龄时，他总是回答：“我在公元 年时是 岁。”如果我告诉你，他生活在 19 世纪，按理你应该能够推断出他生于 1806 年……
例二 以下推理也是如此。
鸟类属于动物。
因此，鸟类的头属于动物的头。
这个推理是正确的，它建立在类比关系之上，这显然不够严谨。
例三 某些命题包含三个甚至更多的关系。接下来的两个推理都是正确的。其中一个使用了连词“或”，另一个使用了连词“并”，但我们无法把它们写成三段论的形式。
房子是用木头或用砖块建造的。
房子不是用木头建造的。
因此，房子是用砖块建造的。
大多数工程师喜欢音乐。
大多数工程师拥有人寿保险。
因此，有些工程师喜欢音乐并拥有人寿保险。
例四 有很多涉及各种关系的正确推理，比如以下两个例子。
古代文明在中世纪之前。
中世纪在文艺复兴时期之前。
因此，古代文明在文艺复兴时期之前。
玛露西亚是苏菲的女儿，
因此，苏菲是玛露西亚的妈妈。
然而，处处都是陷阱……其实，正如无论证明什么都会存在风险。
我和我的弟弟不在同一座城市。
我的弟弟和我的妹妹不在同一座城市。
因此，我和我的妹妹不在同一座城市。
……并且，风险会随着词汇量的增加而增加。
我的睡衣可以放进抽屉里。
我可以穿进我的睡衣里。
因此，我可以进入到抽屉里。
阿尔贝·加缪在《西西弗的神话》一书中写道：“想合乎逻辑总是容易的，但是想从头至尾一直都合乎逻辑几乎是不可能的。”或许，亚里士多德也想到了同样的事情，却不敢承认这个事实。
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