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目 录 第 1 讲 第 2 讲 第 3 讲 第 4 讲 第 5 讲 第 6 讲 第 7 讲 第 8 讲 第 9 讲 第 10 讲 第 11 讲 第 12 讲 第 13 讲 第 14 讲 第 15 讲 第 16 讲 ……………………………………加法速算 ……………………………………错中求解 ……………………………………推理游戏 …………………………………“同样多”问题 ……………………………………趣味数阵 ……………………………………逆向思考 ……………………………………倍数问题一 ……………………………………倍数问题二 ………………………………… … 倍数问题三 ……………………………………分段问题 ……………………………………重叠问题 ……………………………………算式迷 ……………………………………智解趣题 ……………………………………有趣的余数一 ……………………………………有趣的余数二 ……………………………………数字奥秘 （ 1 ） （ 4 ） （ 8 ） （ 12 ） （ 16 ） （ 21 ） （ 25 ） （ 29 ） （ 33） （ 37 ） （ 41 ） （ 45 ） （ 49 ） （ 53） （ 47 ） （ 50 ） 第 1 讲 加法速算 教学目标： 1.让学生明白加法是把一些数合并起来，而合并后的大小与合并的顺序没有关系，利用加法的这个特点，可以使一些加法计算变得比较简单。 2.让学生知道遇到加法中可以简算的尽量使用简便算法，使计算又快又对。 3.培养学生的计算能力和灵活的思维能力。 教学重点：解决加法中的简算问题。 教学难点：能根据题目中具体的数灵活选择简便算法。 教学过程： 一、基础训练 下面一组题，其中的数很大，怎样使加法计算变得比较简单些呢？ 计算 1 36＋87＋64 2 99＋36＋101 引导学生观察题中的数： 由于题目中有两个数恰好互补，和能凑成整十、整百，可以先将它们加起来，我们可以很快算出结果。 136＋87＋64=（36＋64）＋87=100＋87=187 2 99＋36＋101= （99＋101＋36=236 练习： 计算：118＋28＋72 287＋15＋13 324＋45＋76＋35 443＋56＋17＋24 二、拓展提高。 1、计算 65＋28＋79 28 很接近 30，只差 2；79 很接近 80，只差 1，可以把 65 拆成62＋2＋1，把拆出来的 2 和 1 分别与 28 和 79 相加。 所以 65＋28＋79＝62＋28＋2＋79＋1 ＝62＋30＋80＝62＋110＝172 试一试、算一算。 19＋98＋97＋6 2）37＋15＋42 2、 计算 97＋87＋77＋67＋57＋47＋37＋27＋17 讨论：怎样算更快？ 仔细观察，可以发现 9 个加数个位上的数都是 7，可以把这 9 个 7相加变成 7×9；再把剩下的整十数适当合并。 97＋87＋77＋67＋57＋47＋37＋27＋17 ＝9×7＋90＋10＋80＋20＋70＋30＋60＋40＋50 ＝63＋100＋100＋100＋100＋50 ＝63＋400＋50 ＝513 三、课堂练习： 1、计算： 129＋29＋29＋29 268＋98＋8 2102＋99＋101＋98 453＋49＋51＋48＋52＋50 2、下面的题你有什么办法使计算更简便。 57＋98 62＋108 26 +7+48 1 2+3 4+5 6+7 8+9 10+11 小练习 四、总结 请学生说说学习的体会. 板书设计： 加法速算 怎样使加法计算变得比较简单些呢？ 1 36＋87＋64 2 99＋36＋101 136＋87＋64=（36＋64）＋87=100＋87=187 2 99＋36＋101= （99＋101＋36=236 第 2 讲 错中求解 教学目标： 1.让学生知道计算时常会遇到将算式中的数字或运算符号看错的情况，能根据出错的原因推算出正确的结果。 2.培养学生发现问题、解决问题的能力。 教学重点：找出错误并解决问题。 教学难点：根据题中数学信息逆向思维。 教学过程： 导入：同学们在计算时常会遇到将算式中的数字或运算符号看错的情况，那么你能不能根据出错的原因推算出正确的结果呢？ 一、基础训练 一道加法算式，小青把其中一个加数个位上的 2 看成了 7，结果和是 46，你知道正确的和应该是多少吗？ 想一想： 把加数个位上的 2 看成了 7，就多加了（ ），和也会多（ ）。 这样想： 只要从错误的和 46 中减去多加的 5，就是正确的答案。46 5=41，所以正确的和应该是 41。 列式为：46 （7 2）=41 小练习： （1）一道加法算式，小云把其中一个加数的十位上的 6 看成了 8，结果和是 95，你知道正确的和应该是多少吗？ （2）一道加法算式，小亮把其中一个加数个位上的 5 看成了 2，结果和是 57，你知道正确的和应该是多少吗？ 二、拓展提高。 拓展 1、 小军在计算一道减法计算题时，错把减数个位上的 7 看成了 9，这样算得的差是 35，正确的差应该是多少？ 思考： 减数个位上的 7 看成了 9，该怎么办？ （那就多减了 9 7=2，多减了差就会减少 。） 就要把错误的差 35 加上多减的 2，35+2=37，所以正确的差应该是 37。 列式为：35+（9 7）=37 练习： （1）小英做一道减法计算题时，错把减数十位上的 1 看成了 6，这样算得的差是 17，正确的差应该是多少？ （2）有一道减法题，我把减数 23 错写成了 32，算出的差是 68，正确的差应该是多少？ 拓展 2、小丽做题时，把被减数十位上的 5 错写成了 1，这样算得的差是 2，正确的差是多 少 ？ 小朋友们，你们知道正确的差吗? 先想一想、填一填： 减数一定时，被减数越大，差越 （ ），被减数越小，差越（ ）。 小丽把被减数十位上的 5 错写成了 1，就是将被减数减少了50 10=40，这样差也会减少 40，正确的差应该把错误的差 2 加上减少的 40，2+40=42，正确的差为 42。 列式： 2+（50 10）=42 三、课堂练习 1.美美做题时，把被减数个位上的 2 错写成了 8，这样算得的差是 36，正确的差是多少？ 2.小林做减法时，他把被减数十位上的 3 写成了 5，这样算得的差是 94，正确的差是多少？ 3.一道加法算式，小月把其中一个加数十位上的 5 看成了 2，结果和是 60，你知道正确的和应该是多少吗？ 4.小明在做一道加法时，把一个加数个位的 2 看作了 4，另一个加数个位上的 7 看作 9，结果计算的和为 25，正确的和为多少？ 5.小刚做减法计算题时，错把把被减数个位上的 7 错写成了 3，减数十位上的7看成了2，这样算得的差是54，正确的差应该是多少？ 6.小马虎在做一道减法题时，把被减数十位上的 4 看成 6，把减数十位上的 2 看作 5，结果得到的差是 52，正确的差是多少？ 7.小明在计算乘法时，把一个因数 8 错当作 3，得 36，正确的积应是多少？ 四、总结 请学生说说学习的体会。 板书设计： 错中求解 一道加法算式，小青把其中一个加数个位上的 2 看成了 7，结果和是 46，你知道正确的和应该是多少吗？ 把加数个位上的 2 看成了 7，就多加了（ ），和也会多（ ） 所以： 46 （7 2）=41 第 3 讲 推理游戏 教学目标： 1.让学生知道在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论。 2.培养学生分析问题以及对事物的推理能力。 教学重点：通过分析和推理得出正确的结论。 教学难点：分析问题以及对事物的推理能力。 教学过程： 第 3 讲 思维碰碰碰 在日常生活中，有些问题常常要求我们主要通过分析和推理，而不是计算得出正确的结论。 推理游戏 “小林不是第一名也不是第二名”可以知道小林是第三名。 根据“小强不是第一名”可以知道小强是第二名，那么小丽就是第一名。 小丽是第一名，小强是第二名，小林是第三名。 二年级举行数学竞赛，小林、小强和小丽取得了前三名，已知小强不是第一名，小林不是第一名也不是第二名，那么第一、二、三名分别是谁？ 1.小文、小方、小红都带了一样玩具，分别是飞机、小船、小熊，小文说：“我带的不是飞机。”小红说：“我带的是小熊。”那么他们分别带的是什么玩具？ 2.甲、乙、丙三个小朋友分别参加跳远、跳高、铅球三项体育运动比赛。甲说：“我没参加铅球比赛。”乙说：“我没参加跳远比赛。”丙说：“我看见甲、乙分别参加了跳远和铅球比赛。”你能根据这三句话，猜出他们分别参加了哪一项比赛活动吗？ 例 例 2 2 例 例 1 1 小朋友们，你们会推理吗? 根据小华说：“小华比小芳大 5 岁”，那么小芳比小华小 5 岁。又根据小芳说：“我比小刚小 3 岁”，那么小芳最小，小华比小刚大 2 岁，所以按年龄从大到小排队为：小华、小刚、小芳。 我们可以这样想：假设是王帆看了这部影片，那么王帆说的是假话，李昊和吴一凡说的是真话，这样与三人中有两人说了假话、一人说了真话与题意不符，因而王帆没看这部影片。 1 .桌上有 4 个球，黄球在白球的右边，红球在白球的左边，花球在红球的左边，请说出从左到右分别是什么球？ 2.小丁、小王和小张三人跳远，小丁比小王近 5 厘米，小王比小张远 8 厘米，请你仔细想一想，谁跳得最远？谁跳得最近？ 王帆、李昊、吴一凡三人中，有一人看了《地球奥秘》这部科技片。当老师问他们三个谁看了这部科技片时： 王帆说：“李昊看了。” 李昊说：“我没有看。” 吴一凡说：“我没有看。” 如果知道他们三人中有两人说了假话，有一人说的是真话，你能判断谁看了这部影片吗？ 例 例 3 3 小华说：“我比小芳大 5 岁” 。小芳说：“我比小刚小 3 岁” 。小刚说：“请给我们的岁数排个队” 。 本题中小芳是解题的关键，因为小芳同时和另二个人进行了比较，可以通过比较知道另二个人的年龄大小，从而解决问题。 假设是李昊看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了真话，李昊说了假话，这与两人说了假话、一人说了真话不符，因而李昊没看这部影片。 假设吴一凡看了这部影片，那么王帆和吴一凡说了假话，只有李昊一人说了真话，因而我们可以断定是吴一凡看了这部影片。 1.孤岛上住着说真话和和假话的两种人，说假话的人句句是假话，说真话的人句句是真话。有一天 A、B、C 三个人在一起交谈，有一段对话： A 说：“B 和 C 都说假话。” B 说：“我没有说假话。” C 说：“B 在说假话。” 同学们，你知道他们三个人中有几个人在说假话？ 2.王、李、赵三名同学有一名在同学都不在的时候为班级做了件好事，事后老师问他们三人是谁做的好事。王说：“是赵。”赵说：“不是我。”思 绪 漂 流 你是怎样想的？ 我们用图表示题中的数量关系： 小明：○○○○○○○○○○○○○ ○○ ○○ 小红：○○○○○○○○○○○○○ 李说：“不是我。”先知道他们 3 人中只有一人说了真话，你能判断做好事的是谁吗？ 第 4 讲 小明有 16 个贝壳，小明有 16 个贝壳。小明给小红几个贝壳，两人贝壳个数就会同样多？ 例 例 1 1 “同样多” 问题 思维碰碰碰 小朋友，同样多的问题很有趣，你会解决吗？ 看谁想得对？ 从图中可以看出，小明的贝壳比小红多 4 个，把多的 4个平均分成两份，4÷2=2（个），每份 2 个，即小明给小红 2 个，两人贝壳数就同样多。 根据题意，已知两人画片的移动数是 3,“飞飞给文文 3 张”， 画图真清楚 。 ⒈ 小红有 10 枝铅笔，小明有 6 枝铅笔，小红给小明几枝铅笔，两人的铅笔枝数就会同样多？ ⒉ 二（1）班第一队有 28 人，第二队有 36 人，怎样调整，两队人数同样多？ ⒊ 甲筐比乙筐多 10 棵白菜，从甲筐拿几棵到乙筐，甲乙两筐的白菜棵数同样多？ 文文和飞飞各有一些画片，飞飞给文文 3 张后，两人画片同样多，原来飞飞比文文多几张? 例 例 2 2 原来谁的画片多？多多少怎样算？ 真是有点复杂呦，还是自己画画图吧。 1．小华给小强 2 枝铅笔，两人铅笔枝数同样多，原来小华比小强多几枝铅笔？ 2．二（1）班有 60 名小朋友排两队做操，第一队调 4 人到第二队，两队人数同样多，原来第一队比第二队多几人？ 3．肖肖有 8 根小棒，肖肖给飞飞 2 根后两人小棒数一样多，飞飞原来有几根小棒？ 一个书架有两层。如果从上层取 10 本书到下层，上层还比下层多 5 本。原来上层比下层多几？ 例 例 3 3 所以 3×2=6（张），这就是两人相差的张数。 再说一说，是怎样想的？ 若上层取 10 本到下层后，两层本数同样多，那么上层就比下层多 10×2=20（本）。 但题目已知上层取 10 本到下层后，还比下层多 5 本，说明上层原来比下层多 10×2＋5=25（本）。 哈哈，好好想一想，我很快就知道答案啦！ 1．芳芳和南南有一些糖，芳芳给南南 5 块后，芳芳比南南还多 2 块。原来芳芳比南南多几块？ 2．小林有一个两层的文具盒，上层比下层多 4 枝笔，如果下层拿一枝到上层，这时上层比下层多几枝？ 3．甲借 3 本书给乙后，两人书的本数同样多，这时乙有 12 本书，问甲原来有几本书？ 4．甲乙两堆萝卜，甲堆比乙堆多 8 个萝卜，如果甲堆拿 5 个给乙堆，这时哪堆萝卜多？多几个？ 第 5 讲 思 绪 漂 流 推理游戏 趣味数阵 思维碰碰碰 题目给出四个数，要求填在横线三个○和竖线二个○里，和相等,横、竖线上有一个数是公共加数。 把 把 7 7 、8 8 、 15 、6 16 这四个数分别填入 ○ 内，使横线上三个数的和与竖线上两个数的和相等。 例 例 1 1 可以这样想：四个数当中减去一个公共加数，剩下三个数，也就是横线上二个数、竖线上一个数。只要横线上这二个数的和等于竖线上的这个数就符合题目要求了。 动动脑筋，我发现因为 7+8=15，可以知道16 是公共加数，7 和 8 是横线上的数，15 就是竖线上的数。 15 15 7 16 8 8 16 7 （1）把 5、6、7、8、9 这五个数字分别填入左图○中，使每条个数的和都等于 19。 （2）把 11、12、14、15 这四个数分别填入图中的○中，使每条线上三个数相加的和都等于 50。 10 3 每横行、竖行的三个数相加都得15，3+4+5+6+7=25，而 15×2=30，他们的差是 5，而中间这个数加了二次，所以中间的数应该是 5。另 4 个数分别凑成二对，他们的和分别和 10，可以可以填 4+5+6 和 3+5+7。 24 4 （1） （2） （1）填数，（左图）使横行、竖行的三个数相加都得 11。 （2 2 ）把 3～8 这 6 个数，填在下图中使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为 18。 例 例 2 2 把 3，4，5，6，7 这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得 15。 把 1，2，3，4，5，7 分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于 13。 （1）把 2，3，4，5，6，7，8 这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等 19。 （1） （2） 例 例 3 3 中间另一个圈内为 3，左边和右边的和都是9，分别是 2 和 7、4 和 5。 我们可以这样思考，2 个椭圆上的数分别加一次，总和应为 26，其中 1 和另一个数加了二次，6 个数的和是 22，比 26 差 4，所以 4 1=3思 绪 漂 流 （2）将 1，2，3，4，5，6 这 6 个数分别填入下图中，使两个大圆上4 个数的和都等于 14。 （3）用数字 1、3 来填数，使正方形每边的和为 7，四边的和为 18。 （3） （4） （4）3、将 2、3、5 填入下图六个圆圈里，使每个三角形三个顶点上的数的和相等。 （5）将 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数填入下图的小圆圈里，使外圆四个数的和等于 18，内圆四个数的和等于 18，横行和竖行四个数的和也等于 18。 第 6 讲 逆向思考 思维碰碰碰 小朋友,解答有些题时，要根据题意，由后向前一步步逆推，直到问题得到解决。快来试试吧！ 4、把 3、6、9、12、15 五个数填在下面○里，使每条线上三个数的和与正方形四个角上四个数的和相等。 40+60=100，就是我们要求。为什么用加法？ 画图看看 我明白了 二（1）班图书角有很多图书，借出 40 本后，还剩60 本。二（1）班图书角原来有多少本图书？ 例 例 1 1 借出 0 40 本 ? 本 剩下 0 60 本 二（2）班小图书箱第一天借出了存书的一半，第 2 天又借出 14 本，还剩 16 本。小图书箱原有图书多少本？ 第 1 天借书后还剩的本数：14＋16＝30（本） 原有图书的本数：30×2＝60（本） 综合算式：（14＋16）×2＝60（本） 再根据“第 1 天借出了存书的一半”，可推算出这 30本书也就是第 1 天借出后的另一半，即相当于第 1 天借出的本数。这样，小图书箱原有的图书本数可求得。 （1）妈妈买来桔子，吃掉 15 个后，还剩 9 个。妈妈买来多少个桔子？ （2）商店有大米 1200 千克，卖出一些后还剩 300 千克，卖出的比剩下的多多少千克？ 例 例 2 2 经过两天借出图书，小图书最后还剩 16 本书。由此可以往前推算：第 2 天没借出 14 本前（也就是第 1 天借出图书后），应有（14＋16=30）本书。 （1）小红有压岁钱若干元，买文具用去一半，买书本又用去了24 元，还剩 26 元，小红原有压岁钱多少元? （2）水果店有苹果若干千克，第一天卖出一半，第二天又卖出42 千克还剩 36 千克，水果店原有苹果多少千克？ （1）甲乙丙三组共有图书 120 本，如果乙组向甲组借 4 本后又送最后“三个中队的图书册数相等”，所以他们都有 60÷3=20（本） 我们把“乙中队给丙中队 10 册”还原，得到丙有 10 本，乙那时有 30 本，把“甲中队给乙中队 4 册”还原，又得到乙有 26 本，甲有 24本，所以原来甲中队有图书 24 册。甲、乙、丙三个中队，共有图书 60 册，如果甲中队给乙中队 4 册，乙中队给丙中队 10 册，那么三个中队的图书册数相等。原来甲中队有图书多少册？ 例 例 3 3 思 绪 漂 流给了丙组 7 本，结果三个组所有图书刚好相等。甲乙丙三个组原有图书多少本？ （2）小明、小张、小李共有游戏卡片 99 张，如果小明给小张 10张，小张给小李 7 张，那么大家手中的卡片正好相等，小明、小张、小李原来各有游戏卡片多少张？ 第 7 讲 例 例 1 1 倍数问题 1 1思维碰碰碰 我们知道了倍数的意义，你能分清 1倍数和几 1 倍数吗？ 倍数问题一思维碰碰碰 我们知道了倍数的意义，你能分清 1 倍数和几倍数吗？ 火车的速度是个几倍数，而题目所要求的“自行车每小时行多少千米？”是个 1 倍数。 小民的邮票数是一倍数，而小华的邮票数是几倍数，要求两人一共有邮票多少张，必须先求小民邮票的张数。 1、粮店运来 35 袋大米，是运来面粉的 7 倍，运来面粉多少袋？ 2、学校有 21 个篮球，是足球的 3 倍，学校有足球多少个？ 小华有邮票 54 张，是小民邮票数的 6 倍，两人一共有邮票多少张？ 用几倍数除以倍数就可以求出 1 倍数。 85÷5=17（千米） 例 例 2 2 火车每小时行 85 千米，是自行车每小时所行路程的 5 倍，自行车每小时行多少千米？ 谁和谁比？ 小华今年是小红的 2 倍，小华今年是4×2×2=16 岁。 1.爸爸有书 32 本，是小明的 8 倍，两人一共有书多少本？ 2.二（1）班女生有 30 人，是男生的 2 倍，二（1）班共有学生多少人？ 3.一根绳子长 48 米，对折后再对折，这时绳子长多少米？ 例 例 3 3 小红今年 4 岁，小英今年的岁数是小红的 2 倍，小华今年的岁数是小英的 2 倍，小华今年的岁数是小红的多少倍？ 谁是 1 倍数？ 小民有邮票多少张：54÷6=9（张）， 两人一共有邮票多少张？54+9=63（张） 要求小华的岁数是小红的几倍，应该是（4×2×2）÷4 可以这样想，小红今年 4 岁，小英是小红的 2 倍，也就是 4×2=8 岁。 1.一瓶墨水 3 元，一支钢笔是墨水的 3 倍，一支钢笔多少钱？ 2.小芳今年 12 岁，爸爸伯年龄刚好是小芳的 3 倍，爸爸今年多少岁？3.甲数是 72，是乙数的 8 倍，求乙数。 4.菜场运来 5 筐青菜，运来西红柿是青菜的 2 倍，运来的萝卜是西红柿的 2 倍，运来的萝卜是青菜的几倍？ 5.小明有 18 个红球，蓝球是红球的 3 倍，黄球又是蓝球的 2 倍，黄球有多少个？ 6.二（1）班今年种花 35 盆，是二（2）班种花的 4 倍少 1 盆，二（2）班种花多少盆？ 第8讲 还可以这样想：把小华今年的岁数看作“1”，则小英的岁数是 2，小华的岁数是 4，小华今年的岁数是小红的几倍版式是 4÷1=4 思 绪 漂 流快来好好想想吧！ 1 倍 1 倍 1 倍 美术组 二年级共有 36 位同学参加美术和围棋兴趣小组，参加美术小组的人数是围棋组的 3 倍。问：参加美术和围棋兴趣小组的各有多少人？ 我来画图试一试。 例 1 1 “后来又运来 10 吨大米，”大米和豆子的总数变成了 18+10=28 吨。 1 倍 36 人 围棋组 1、甲乙两袋大米共 54 千克，甲袋米的重量是乙袋米的 5 倍，问：甲、乙两袋各有米多少千克？ 2、玩具店有小熊玩具和小狗玩具共 30 个，小熊玩具是小狗玩具的 4 倍，问：小熊玩具和小狗玩具各有多少个？ 仓库有大米和豆子共 18 吨，后来又运来 10 吨大米，现在大米是豆子的 6 倍，请问仓库原有大米多少吨？ 美 术 组 人 数是 9×3=27（人） 把围棋组的人数 美术组人数就是 3 倍量，36人就相当于（1+3）倍 。 围棋组人数是 36÷（1+3）=9（人） 例 例 2 2 “现在大米是豆子的 6 倍”，现在它们的总和是豆子的（6+1）倍，再用 28÷（6+1）=4 吨。18 4=14（吨）。 “男队员人数比女队员人数多 2 倍”的意思相当于“男队员人数是女队员人数的 3 倍”。 男队员人数比女队员人数多 2倍是什么意思？ 下面的解决就与例 1 相同了。 女队员人数：32÷（2+1+1）=8（人） 男队员人数：8×（2+1）=24（人） 列式为： 18+10=28（吨） 28÷（6+1）=4（吨） 18 4=14（吨） 1、学校有篮球和排球共 35 个，又买来篮球 15 个，现在篮球是排球的 4 倍，请问学校原来篮球和排球各多少个？ 2、A 仓库和 B 仓库共有化肥 108 吨，A 仓库用去 18 吨后剩下的化肥是 B 仓库 5倍，请问 B 仓库有化肥多少吨？ 1.小华和小玉共有 35 本课外书，小华比小玉多 4 倍。问：小华和小玉各多有少本课外书？ 校田径队共有队员 32 人，其中男队员人数比女队员人数多2 倍。问：田径队的男、女队员各有多少人？ 例 例 3 3 推理游戏 思 绪 漂 流 2.师傅和徒弟共缝制衣服 64 件，师傅缝制的数量比徒弟多 7 倍，师傅和徒弟各 缝制衣服多少件？ 3.甲、乙、丙三个数的和是 12，乙数是甲数的 2 倍，丙数是甲数的3 倍，甲、 乙、丙三个数分别是多少？ 4.果园里一共种 340 棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的 3 倍多 20 棵，两种树各种了多少棵？ 5.甲、乙两个粮库原来共存大米 320 吨，后来从甲粮库运出 40 吨，给乙库运进 20 吨，这时甲库存的大米是乙库的２倍，两个粮库原来各存大米多少吨? 第 9 讲 倍数问题三思维碰碰碰 同学们，我们已经学习了倍数问题，但题中的信息千变万化，你敢来挑战吗？这就简单啦。 还是倍数问题，和上节课的一样吗？ 乙班 甲班 例 例 1 1 甲班的图书本数比乙班多 80 本，甲班的图书本数是乙班的 3 倍，甲班和乙班各有图书多少本？ 还是画线段图吧。 ①乙班的本数： 80÷（3 1）=40（本） ②甲班的本数： 40×3=120（本） 或 40＋80=120（本）。 真复杂，还是画线段图更清楚。自己画一画、试一试吧。 （1）饲养场里养的白兔比灰兔多 32 只，已知白兔的只数是灰兔的 5 倍。白兔、灰兔各养了多少只？ （2）养鸡场的母鸡比公鸡多 40 只，母鸡只数是公鸡的 3 倍，这个养鸡场有公鸡、母鸡各多少只？ 新新玩具厂今年生产的玩具熊比玩具狗多 60 只，玩具熊是玩具狗总数的 3 倍少 20 只，这个玩具厂生产两种玩具各多少只？ 你能分清两种玩具各多少只吗？ 试一试，看自己学得怎样？ 例 例 2 2 这里把玩具狗的只数看作 1 倍量，玩具熊比玩具狗总数的 3 倍少 20 只，也就是说再多生产 20 只玩具熊恰好比玩具狗多 2倍，即（60+20）=80（只） 80÷（3 1）=40（只） 40+60=100（只）原来二个书柜上一样多，甲给乙 50 本，说明乙柜比甲柜多 50×2=100 本。 1、师傅比徒弟多加工 66 个零件，师傅加工的零件数比徒弟的 3倍多 6 个，徒弟加工零件多少个？ 2、6 月份商店卖出空调比电视机多 36 台，卖出空调的只数比电视机的 4 倍少 8 台，6 月份商店卖出空调多少台？ 甲、乙两个书柜中的书同样多，现把甲柜中的 50 本放入乙柜中，这时乙柜中的书是甲柜中的 3 倍。原来甲柜中有书多少本？ 1.有两袋大米，甲袋大米是乙袋大米的 3 倍，如果再往乙袋里装 10 千克大例 例 3 3 更复杂了，怎样理清数量关系呢？这时乙柜中的书是甲柜中的 3 倍把现在甲柜中的书看作 1 倍量，那么乙柜中的书是 3 倍数。 思 绪 漂 流米，两袋大米就一样重。原来甲袋大米多少千克？ 2.一篮苹果比一篮桔子重 40 千克，苹果重量是桔子的 5 倍，苹果、桔子各有多少千克？ 3.小明、小红两人集邮,小明的邮票比小红多 15 张,小明的张数是小红的 4倍,小明集邮多少张？小红集邮多少张？ 第 10 讲 例 例 1 1 一根绳子长 8 米，把它剪成 2 米长的小段，可剪多少段？要剪多少次？ 分段问题 思维碰碰碰 小朋友，生活中有些题很可能和你想象的有些不一样，你相信吗？ 8 米长的绳子，剪成每段 2 米长，要求可以剪多少段，就是求 8 里面有几个 2，8÷2=4（段）， 要求剪几次，可以用线段图分析。 从图中可以看出每一段剪一次，剪最后一次可以有 2 段，因此剪的次数比剪的段数少 1。即剪的次数=段数－1。列式8÷3 对吗？ 8 米长的绳子，剪了 3 次，应该剪成了 4 段。 2 米 8 米 1．一根木料长 10 米，木工把它锯成 2 米长的小段，可以锯成多少段？要锯几次？ 2．一根 25 厘米长的铁丝，把它剪成 5 厘米长的小段，可剪几段？要剪几次？ 3．把一根 6 米长的电线，剪了 2 次，平均每段长多少米？ 一根 8 米长的绳子，剪了 3 次，平均每段长多少米？ 例 例 2 2 求平均每段长多少米，也就是把 8平均分成 4 份，求每份是多少。 因此平均每段长 2 米。列式如下： 3＋1=4（段） 从底楼到二楼只有一层楼梯，那么从底楼到七楼应该为 7－1=6（层）楼梯。 1．一根 9 米长的绳子，剪了 2 次，平均每段长多少米？ 2．一根 12 分米长的铁丝，剪了 3 次，平均每段长多少分米？ 3．一根绳子剪了 2 次后，平均每段长 5 厘米。这根绳子原来长多少厘米？ 小明家住七楼，他从底楼走到二楼用 1 分钟，那么他从底楼走到七楼要用几分钟？ 例 例 3 3 走一层楼梯用分钟，那么走 6 层就用 6 分钟。列式如下： 7－1=6（层） 谁说的对？ 1．张亮家住四楼，他从底楼到二楼需 2 分钟，那么他从底楼到四楼需要几分钟？ 2．李明家住五楼，他从四楼走到五楼需 30 秒，那么他从底楼走到五楼需多少秒？ 3．小红家住七楼，她从底楼到三楼要用 2 分钟，那么她从底楼到七楼要几分钟？ 4．小冬住在大厦 11 层，他数了 10 层到 11 层有 21 级台阶，你能算出从底楼到小冬家有多少级台阶吗？ 5．一根铁丝剪 5 次后，平均每段长 6 米，这根铁丝原来长多少米？ 6．两根同样长的绳子重叠，被剪 3 次后，平均每段长 2 米，你知道这两根绳子总长多少米吗？ 小明和小红同住一幢楼。小红住三楼，小明组六楼，小明说：“我走的楼梯是小红的 2 倍? 第 11 讲 思 绪 漂 流动动脑筋吧！ 重叠问题 你说的不对。从前数，王叔叔排第 8，被数了一次，从后数也排第 8，又被数了一次，所以算一共有多少人时应从 8+8=16（人）中减去 1 人，即 16 1=15（人）。解答如下：8+8 1=15（人） （1）同学们排队做游戏，小华的位置从前面数起，她是第 6 个，从后面数例 例 1 1 风景区售票，人们排队买票，王叔叔站在队伍里，无论从前数还是从后数，他都是排第 8，这一队有多少人？ 8+8=16（人）对吗？ 怎样计算呢？还是画画图吧。 两种棋都会下的同学有重复的吗？ 起，她是第 9 个，问有多少个同学在做游戏？ （2）做早操时小明在队伍中从前面数是第 3 个，从后面数是第 4 个，这一排队伍有多少个同学？ （3）14 个小朋友站成一排照相。从左往右数，小海排在第 4 个。从右往左数，小海排在第几个？ 可以这样画图 ： 跳棋 ？ 五子棋 25 28 45 名 二（4）班有 45 名同学，每人至少会下一种棋，会下跳棋的有 25 名同学，会下五子棋的有 28 名同学，两种棋都会下的有多少名同学？ 例 例 2 2 从图中可以看出会下跳棋的和会下五子棋的有重叠部分，即把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是 2 厘米，所以这两块木板的总长度是 18＋2=20 厘米，每块木板的长度是 20÷2=10 厘米。 （1）二（1）班有学生 40 人，参加学校举行的两科联赛。语文获奖的有 28人，数学获奖的有 24 人，每人至少有一门获奖，问语、数都获奖的有多少人？ （2）40 名同学报名参加少年宫写作和奥数培训，每人至少报一门。参加写作的同学有 23 人，参加奥数的同学有 33 人，请问二门都报的同学有多少人？ 把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长 18 厘米，中间重叠部分是 2 厘米，这两块木板各长多少厘米？ 列式解答： 18+2=20（厘米） 20÷2=10（厘米） 例 例 3 3 所以，用会下跳棋的人数加上会下五子棋的人数减去全班同学人数的部分，就是重复计算的两种棋都会下的同学。解答： 25+28 45=8（名） 思 绪 漂 流 （1）把两根木条钉在一起，重叠部分是 10 厘米，已知其中一根木条长 80厘米，另一根木条长 70 厘米，请问钉成的长木条长多少厘米？ （2）二根长 20 分米长的竹杆绑在一起，已知重叠部份有 5 分米，绑起来的竹杆长多少分米？ （3）小娟洗了 3 块手帕，准备没有重叠地挂在绳子上晾干，每 1 块手帕的两头都必须有夹子夹住，二块手帕交界处可以合用一个夹子。小娟最少要用几只夹子？ ————————————————————— （4）两块木板各长 75 厘米，像下图这样钉成一块长 130 厘米的木板，中间重合部分是多少厘米？ 第 12 讲 你知道吗？ 黑猫警长带领巡警在正方形的会议室里开会，研究抓捕杀人犯金钱豹的方案，安排 6 名卫兵在会议室外面的四周站岗放哨，而且每边都有3名卫兵。你知道这 6 名卫兵各站在什么位置吗？ 算式迷 思维碰碰碰 小朋友，一个式子里添上括号或用不同的运算符号，得数还会相同吗？试一试就知道。 此题等号左边的数字比较多，而等号右边的数字是 1，可以考虑在等号左边最后一个数字 6 前面添“ ”号；再考虑 1 2 3 4 5=7，可考虑在 5 前面添“+”号；按这样的方法，只要让 1 2 3 4=2 则只需 1+2+3 4=2。 正确结果如下： 1+2+3 4+5 6 =1 在合适的地方填“+”或“ ”，使等式成立。 （1）1 2 3 4 5 6 = 2 （2）1 2 3 4 5 6 = 76 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 48 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 99 在合适的地方填“+”或“ ”使等式成立。 1 2 3 4 5 6 = 1 例 例 1 1 在哪里添括号呢？ （2）9×7 3=36 等号右边是 36，等号左边有 9，如果能找到 4,9×4=36 就恰好。通过观察，左边有 7 和 3，而且他们中间是减号，这样把 7 3 添上括号就可以了。 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 81 此题正确结果如下： （1）55 （22 7）=40 （2）9×（7 3）=16 1、在下面的式子中适当的地方添上括号使等式成立。 （1）17+ 23– 5 ÷ 5 = 7 （2）24– 8 ÷ 2 + 7= 15 2、从+、 、×、÷、（ ）中挑选合适的符号，填入适当的位置，使下面的等式成立。 在下面的式子中适当的地方添上括号使等式成立。 （1）55–22–7= 40 29×7–3 = 36 例 例 2 2 （1）55 22 7=40 等号左边都是减号，而且等号左边最大是 55，如果 55 15 正好等于 40，把22 7 添上括号，恰巧是 55 15。 × ＋ － ÷ 把+、 、×、÷分别填入下面等式的“ ○ ”中，使等式成立。 7 ○ 2 ○ 4 = 10 ○ 2 ○ 5 从 7 ○ 2 和 10 ○ 2 入手，这两个方框可能填“×”或“÷”。经过试算：7×2=14，14 4=10；10÷2=5,5+5=10，左边等于右边。 （1） 4 4 4 4 = 1 （2） 4 4 4 4 = 5 （3） 9 8 1 2 = 0 （4）9 8 1 2 = 2 此题正确结果如下： 7 ○ 2 ○ 4 = 10 ○ 2 ○ 5 1、把+、 、×、÷分别填入下面等式的“○”中，，使等式成立。 （1）2○8○4=12○4○9 （2）12○6○2=4○2○4 2、 请你把 1、2、3、4、5、6、7、8 分别填在下面两圈的空格里，使图中四个相关联的算式都成立。 例 例 3 3 + = + = = = ÷ = × = = + = 思 绪 漂 流这些数都要用吗？让我想想。 3、请把 1—9 这九个数字分别填在下面各个方格里，每个数字只许写一次，并在○里填上合适的运算符号，使三道等式成立。 □○ □= = □ □○ □= = □ □○ □= = □ 第 13 讲 田田练了 8 天的字，前 7 天，每天练 4 张纸，最后一天练了 5 张纸。田田 8 天一共练了多少张纸？ 例 例 1 1 智解 趣 题 思维碰碰碰 同学们，我们已经学习了解决问题的基本方法，在解答时，还要灵活思考，细致分析。同学们快来挑战吧！ 此题结果如下： 4×7+5 =28+5 =33（个） 因为 8 天中，有 7 天每天练 4 张纸，所以，我们可以用 4×7=28（张）求出前 7天练习的总张数。最后一天练了 5 张，再用 28+5=33（张），就是 8 天一共练习的纸的张数。 1、小明看一本故事书，前 5 天每天看 9 页，最后一天看了 20 页正好看完，这本故事书一共多少页？ 3、幼儿园同学利用 8 天折小船，前 7 天每天折 8 只，最后一天折 6 只，幼儿园同学 8 天一共折多少只小船？ 4、同学计划 5 天装订本子 30 本，结果前 3 天装订了 16 本，后 2 天装订后还剩 2 本没完成，同学们在后 2 天共装订了多少本？ 李奶奶家养了 10 只鸭，鸡的只数是鸭的 3 倍，要使鸭的只数和鸡同例 例 2 2 这道题关键是要先求出鸡的只数：10×3=30（只）。 已知鸭有 10 只，要使鸭的只数与鸡同样多，还应该买 30 10=20（只）。 还可以怎样算？ 小猴每爬 3 米就滑下 1 米，实际每次只爬了 2 米。 样多，那么李奶奶家还要买几只鸭？ 此题结果如下： 10×3 10 =30 10 =20（只） 1、芳芳有 12 本书，兵兵有 18 本书，要使两人的书同样多，兵兵要给芳芳几本书？ 2、小华有 8 个苹果，丽丽的苹果是小华的 3 倍，丽丽比小华多多少个苹果？ 小猴甜甜学爬树，它要爬上 15 米高的大树，可是它每爬 3 米后就会滑下 1 米，然后又鼓起勇气继续再爬第二次……小猴甜甜要在第几次才能爬到树顶 例 例 3 3 真有趣！下面的问题你会解决吗 ？ 1、一只蜗牛从 5 米深的井底往井口爬，它白天爬 4 米，晚上滑下 2 米，那么它第几天能爬到井口呢？ 2、小刚一边上楼一边玩上楼梯的有戏，他每次上 3 级后就退下来 1 级，想一想，13 级楼梯几次才能上去？ 爸爸有 15 只盘子，分装在 5 个盒子里，邻居们来借盘子的时候，爸爸只要拿一个盒子给邻居，要借几只就是几只（15 只以内），不用打 开盒子，准没错，你知道爸爸是怎样装的吗？ 1 号盒子里装 1 只盘子，2 号盒子里装 2 只盘子……5 号盒子里装 5 只盘子， 1+2+3+4+5=15（只）。这样，邻居要借几只盘子就能拿几号盒子给他。 这样爬两次就是 4 米……当小猴爬了 6 次的时候，是 12 米，还没到树顶，所以在爬第 7 次的时候正好爬到树顶。 例 例 4 4 怎样做到呢？ 思 绪 漂 流 把 5 个 盒 子 分 别 编 号 为1,2,3,4,5。 1、奶奶把 22 只猫，分别装在 6 个笼子里，每只笼子里猫的只数都不相同，奶奶是怎样把 22 只猫装在 6 个笼子里的？ 2、红红把 18 颗糖装在 4 个瓶子里，每个瓶子里糖的颗数都不一样，红红是怎样装糖的？ 3.老师把 21 个圆球分别装在盒子里，每个盒子里装的数量不一样，你知道需要 几个盒子吗？ 第 14 讲 有趣的余数思维碰碰碰 同学们，你们知道除法算式里被除数、除数、商和余数的关系吗？赶快来一起探究吧！ （ ）÷3=2…1 （ ）里是多少呢？ 列式如下： 3×8＋7=31……最大 1×8＋1=25……最小 下面各题中被除数最大填几，最小填几？ ①（ ）÷6=8……（ ） ②（ ）÷7=5……（ ） 例 例 1 1 根据除数×商＋余数=被除数这一等式，当商、除数、余数已知时，可求出最大的被除数为 3×8＋7=31；最小的被除数为 8×3＋1=25。 除数是 8，根据余数比除数小，余数可以是 1，2，3，4，5，6，7 （ ）÷8=3……（ ），根据余数写出被除数最大是几？最小是几？ 例 例 2 2 30 2=28 28÷4=7 所以：30÷（7）=4…2 被除数是 2×3+1=7，在括号里填上 7。 计算下面各题的被除数，并填在（ ）里。 （ ）÷2=4…1 （ ）÷5=3…4 （ ）÷8=6…5 （ ）÷9=2…6 1.在（ ）里填上合适的数。 求下列有余数除法中的除数。 30÷（ ）=4…2 例 例 3 3 被除数=除数×商+余数 （被除数－余数）÷商=除数 思 绪 漂 流（ ）÷（ ）=5…8 （ ）÷（ ）=8…5 （ ）÷（ ）=6…6 （ ）÷（ ）=7…7 2.在括号里填上合适的数。 35÷（ ）=5…（ ） 49÷（ ）=9…（ ） 75÷（ ）=8…（ ） 57÷（ ）=8...
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