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切线是圆这一章节的重要知识点，证明圆的切线是中考的常考题型，本文就例题详细解析这类题型的解题思路和辅助线作法，希望能给初三学生的数学学习带来帮助。
例题
如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=4，BC=2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP。
（1）求△OPC的最大面积；
（2）求∠OCP的最大度数；
（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线。
过P点作PE⊥OC，交OC于点E
根据题目中的条件：AB=4，AB=2OB，则OB=2；
根据题目中的条件和结论：BC=2，OB=2，则OC=BC+OB=4；
根据三角形的面积计算公式和题目中的条件：S△OPC=OC·PE/2，OC=4，则S△OPC=2PE，当PE取到最大值时，S△OPC取到最大值；
根据题目中的条件：P是⊙O上半部分的一个动点，圆的半径=OB=2，则PE的最大值=圆的半径=2；
根据结论：S△OPC=2PE，PE的最大值=2，则S△OPC的最大值=4。
2、求∠OCP的最大度数
根据题目中的条件：P是⊙O上半部分的一个动点，则当CP与⊙O相切时，∠OCP取到最大值；
根据切线的性质和结论：圆的切线垂直于经过切点的半径，CP与⊙O相切，OP是⊙O的半径，则OP⊥CP；
根据结论：OP=OB=2，OC=4，则OP/OC=1/2；
根据三角函数和结论：OP⊥CP，sin∠OCP=OP/CP，OP/OC=1/2，则sin∠OCP=1/2；
根据特殊角的三角函数值和结论：sin∠OCP=1/2，sin30°=1/2，则∠OCP=30°；
所以，∠OCP的最大值为30°。
3、证明：CP是⊙O的切线
连接PA，PB，BD
根据圆周角定理和题目中的条件：直径所对的圆周角为直角，AB、PD均为直径，则∠APB=∠PBD=90°；
根据全等直角三角形的判定、题目中的条件和结论：一组斜边和一组直角边分别相等的两个直角三角形全等，∠APB=∠PBD=90°，PD=BA，PB=BP，则Rt△APB≌Rt△DBP；
根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应边相等，Rt△APB≌Rt△DBP，则AP=DB；
根据题目中的条件和结论：CP=DB，AP=DB，则CP=AP；
根据等边对等角性质和结论：CP=AP，则∠C=∠A；
根据题目中的条件：BC=2，OA=2，则BC=OA；
根据全等三角形的判定和结论：两组对边及其夹角分别相等的两个三角形全等，BC=OA，∠C=∠A，CP=AP，则△OAP≌△BCP；
根据全等三角形的性质和结论：全等三角形的对应角相等，△OAP≌△BCP，则∠APO=∠CPB；
根据结论：∠APB=∠APO+∠OPB，∠APO=∠CPB，则∠APB=∠CPB+∠OPB；
根据结论：∠APB=∠CPB+∠OPB，∠CPO=∠CPB+∠OPB，则∠APB=∠CPO；
根据结论：∠APB=90°，∠APB=∠CPO，则∠CPO=90°，即OP⊥CP；
根据切线的判定和结论：经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，OP⊥CP，OP是⊙O的半径，P在⊙O上，则CP是⊙O的切线。
结语
证明圆的切线的关键步骤是得到需要证明的切线与半径的垂直关系，全等三角形性质中对应边、对应角相等往往有助于证明到垂直关系。因此，只有认真审题，找到图形中的边角关系，并合理添加辅助线，构造全等三角形，才能轻松应对这类题型，为数学中考取得高分加油助力。
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