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这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？ 答 反证法． 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2问题2 上述方法的含义是什么？本 答 假设原命题不成立即在原命题的条件下，结论不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法称为反证 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2问题3 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反本 证法引出的矛盾有几种情况？答 1与原题中的条件矛盾；2与定义、公理、定理、公式等矛盾；3与假设矛盾． 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2问题4 反证法主要适用于什么情形？本 答 ①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条时 件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，关 而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形． 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论 例 1 已知直线 a，b 和平面 α，如果 a?α，b?α，且 a‖b，求证：a‖α.本 证明 如图，因为 a‖b，时 所以经过直线a，b确定一个平面β.因为a?α，而a?β，所以α与β是两个不同的平面．因为b?α，且b?β，所以α∩β＝b. 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2下面用反证法证明直线a与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P，本 则P∈α∩β＝b，即点P是直线a与b的公共点，这与a‖b矛所以a‖α. 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2小结 数学中的一些基础命题都是数学中我们经常用到的明显事实，它们的判定方法极少，宜用反证法证明．正难则反是运用反证法的常见思路，即一个命题的结论如果难以直接证明时，可考虑用反证法． 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2跟踪训练1 已知：a‖b，a∩平面α＝A，如本 求证：直线b与平面α必相交．证明 假设 b 与平面 α 不相交，即 b?α 或 b‖α.开 ①若 b?α，因为 b‖a，a?α，所以 a‖α，这与 a∩α＝A 相矛盾； 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2②如图所示，如果 b‖α，则 a，b 确定平面 β.显然 α 与 β 相交，设 α∩β＝c，因为 b‖α，所以 b‖c.又 a‖b，从而 a‖c，且 a?α，c?α，则 a‖α，这与 a∩α＝A 相矛盾．关 由①②知，假设不成立，故直线 b 与平面 α 必相交． 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2探究点三 用反证法证明否定性命题例2 求证： 2不是有理数．证明 假设 2 是有理数．于是，存在互质的正整数m，n，使得 2＝mn ，从而有m＝ 2n，因此m2＝2n2，所以m为偶数．于是可设m＝2kk是正整数，从而有4k2＝2n2，即n2＝2k2，所以n也为偶数．这与m，n互质矛盾．由上述矛盾可知假设错误，从而 2不是有理数． 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2小结 当结论中含有“不”、“不是、“不可能”、“不存 本 在”等否定形式的命题时，由于此类问题的反面比较具体，时 适于应用反证法．栏 目 开 关 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2跟踪训练2 已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差 数列，求证： a， b， c不成等差数列．证明 假设 a， b， c成等差数列，则a＋ c＝2 b，即a＋c＋2 ac＝4b，而b2＝ac，即b＝ ac，∴a＋c＋2 ac＝4 ac，∴ a－ c2＝0.即 a＝ c，从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故 a， b， c不成等差数列． 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2探究点四 用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型例3 若函数fx在区间[a，b]上是增函数，那么方程fx＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．证明 假设方程fx＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β ，不妨设α β，关 又因为函数fx在[a，b]上是增函数，所以fα fβ．这与假设fα＝0＝fβ矛盾，所以方程fx＝0在区间[a，b]上至多有一个实根． 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2小结 当一个命题的结论有“最多”、“最少”、“至 本 多”、“至少”、“唯一”等字样时，常用反证法来证明，时 用反证法证明时，注意准确写出命题的假设．栏 目 开 关 研一研·问题探究、课堂更高效2.2.2跟踪训练3若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋π3，c＝z2－2x＋π6.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明 假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，所以a＋b＋c≤0，时 栏 目而a＋b＋c＝x2－2y＋π2＋y2－2z＋3π＋z2－2x＋6π＝x2－2x＋y2－2y＋z2－2z＋π＝x－12＋y－12＋z－12＋π－3，所以a＋b＋c 0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0. 练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.21．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D．三角形中三个角都是直角或钝角 练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.22．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，本 应先假设这个三角形中时 A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°目 C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60° 练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.23．“a b”的反面应是A．a≠bC．a＝bB．a b D．a＝b或a b 练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.24．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则本 a‖b”时，应假设时 A．a不垂直于cC．a⊥bD B．a，b都不垂直于c D．a与b相交 练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.25．已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．证明 由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝ba.如果方程不止一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同的根，即ax1＝b，ax2＝b.①－②，得ax1－x2＝0.因为x1≠x2，所以x1－x2≠0，所以应有a＝0，这与已知矛盾，故假设错误．所以，当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根． 练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.21．反证法证明的基本步骤是什么？1假设命题结论的反面是正确的；反设2从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的事实矛盾；推谬3由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的．结论 练一练·当堂检测、目标达成落实处2.2.22．反证法证题与“逆否命题法”是否相同？反证法的理论基础是逆否命题的等价性，但其证明思路不完全是证明一个命题的逆否命题．反证法在否定结论后，只要找到矛盾即可，可以与题设矛盾，也可以与假设矛盾，与定义、定理、公式、事实矛盾．因此，反证法与证明逆否命题是不同的．
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